Compton-effektus szimuláció ✔️

Az applet készítője: Jan Humble. The Java applet has been created by Jan Humble.
Sajnos, a magyarított változatot nem szereti a CheerpJ, ezért csak egy GIf demót tudok mutatni róla. Azt meg is lehetett állítani, ha rákattintottál az egérrel. A szimulációt lentebb találod.

A szimuláció - 2 esetre

A Java appletek futtatásához engedélyezd a CheerpJ bővítményt

1022 keV-es gamma-foton szóródása elektronon. Ez az energia két elektron nyugalmi tömegének felel meg. Minimum ekkora energia kell a párképződéshez, vagyis az annihiláció fordított folyamatához, mely során egy fotonból egy elektron-pozitron pár keletkezik.

Megjegyzés: a szimuláció az eredeti fotont mindkét esetben ugyanolyan hullámhosszúságú szinuszoiddal ábrázolja. Mivel a frekvencia az energiával arányos, az alsón látható hullámnak kétszer olyan "sűrűnek" kéne lennie, mint a felsőnek. Így viszont jobban érzékelhető, hogy a visszaszóródott fotonok relatív energiavesztesége függ az eredeti energiától.

A program automatikusan indul.

Eredetileg (Javával futtatva) a szimuláció interaktív volt, vagyis az egérrel az applet felületére kattintva bármelyik pillanatban megállíthattad az időt, s egy újabb kattintásra minden úgy folytatódott, ahogy félbeszakadt. Ennek most vége!

A jelmagyarázatként szolgáló ábrát az applet készítőjétől vettem át, csak a feliratot csinosítottam egy picit. Az energia és az impulzus elektronra vonatkozó képlete elárulja, hogy a szerző a “nyugalmi tömeg” és a “mozgó tömeg” megkülönböztetésének a híve, vagyis m alatt m_eγ értendő, ahol m_e (ebben a felfogásban) az elektron nyugalmi tömege; γ = √1/[1-(u/c)²] a Lorentz-faktor, u az elektron sebessége, c pedig a fénysebesség vákuumban. Az ábrán szerepel a fotonenergiára vonatkozó E = hν összefüggés is, ahol ν a frekvencia. A φ és a θ szög az elektron, ill. a foton eltérülését jelöli a foton eredeti irányához képest.

Az applet a foton energiaveszteségét hullámhossz-növekedéssel jelzi: a visszaszórt fotonok több energiát veszítenek, de ezek sem tűnnek el, ami a Compton-effektus “védjegye”. Az appletről pillanatfelvételt készítve (Windows10-ben: Shift+Windows+S) ellenőrizheted, hogy a fotonokat megjelenítő szinuszoid szakaszok hossza négy teljes hullámhossznyi (4λ): . Ezért a szinuszoid hossza (ami feltűnőbb, mint a fickándozó szinuszoid hullámhossza) egyértelműen jellemzi a foton energiáját. Minél rövidebb a szinuszoid, annál nagyobb az ábrázolt foton energiája, hiszen a λ hullámhossz és a ν frekvencia fordítva arányosak egymással: λ = c/ν.

Figyeld meg, mikor nagyobb a Compton-szóródott foton (γ’) energiavesztesége: amikor előre szóródik vagy amikor visszafelé? Megfigyelhetünk olyan eseményt, amikor a foton az összes energiáját átadja a meglökött elektronnak?
Útmutatás: Ha a foton az összes energiáját átadná, akkor megszűnne létezni, és csak a meglökött elektront látnánk!

A Compton-effektus és a Klein–Nishina-formula

Az alábbi egyenleteket W.R. Leo könyvének (Techniques for Nuclear and Particle Physics Experiments) 2.7.2. fejezete (Compton Scattering) alapján közlöm (Springer-Verlag, Berlin, 1994).

Csak azokat az egyenleteket ragadom ki, amelyekre szükségem lesz. Az egyenletekben szereplő θ szöget a fenti ábra definiálja. Az ábrán látható γ szimbólum a foton jele, tehát nem fizikai mennyiség.

Alábbiakban a T nem hőmérsékletet jelent, hanem az elektron kinetikus energiáját. Az egyenletekben szereplő γ fizikai mennyiség nem a keretezett szövegben említett Lorentz-faktor, hanem az eredeti foton energiája m_ec² egységben, azaz:

Az Compton-elektron kinetikus energiája a foton eredeti energiájából adódik, vagyis úgy vesszük, mintha az elektron kezdetben nyugalomban lett volna:

Az

jelöléssel ugyanezt így is írhatjuk:

Az s mennyiség maximális értéke:

ami abból adódik, hogy a 180°-kal visszaszórt Compton-elektronnak a legnagyobb az energiavesztesége. Az a tény, hogy

azt jelenti, hogy ebben a folyamatban a foton nem adhatja át a teljes energiáját egy (rugalmasan meglökött Compton-) elektronnak. (Ezzel szemben a rugalmatlan fotoeffektusban a teljes energiáját átadhatja, és ezzel meg is szűnik létezni.)

A Compton-szóródott fotonok szögeloszlása

A Klein–Nishina-formula azt a dσ differenciális hatáskeresztmetszetet adja meg, amely egy olyan Compton-esemény valószínűségével kapcsolatos, mely során a dΩ térszögbe szóródott foton θ szöget zár be az eredeti foton haladási irányával:

ahol r_e a klasszikus elektronrádiusz.

Az alábbi rollover egy olyan szimuláció képernyőfelvételeiből készült, mely a fenti formula alapján jeleníti meg a különböző geometriájú Compton-események hatáskeresztmetszetét vagy – ha úgy tetszik – az egymáshoz viszonyított valószínűségét. A szimulációt a Wolfram Demonstrations Project egyik oldalán találod. A szimuláció készítője S. M. Blinder.

A csúszkával (vagy beírással) meg lehet adni a foton eredeti energiáját MeV-ben, továbbá a foton szóródási szögét (θ = 0-π). Mihelyt az energiát bevitted, a poláris diagram máris frissül. (Megjegyzem, amikor a képernyőfelvételeket készítettem, a szögeket még fokban kellett megadni.) A fedőképen látható piros nyilak a fotont jelentik. A vízszintes → az eredeti foton, a ferde a szórt. Az adott esetben csaknem teljes (180°-os) visszaszóródást állítottam be. A ferde nyíl a középponthoz (ez az origó) viszonylag közel metszi a félrecsúszott poláris görbét. Ez azt jelenti, hogy a foton visszaszóródásával kapcsolatos események viszonylag ritkák. A csaknem vízszintes (3,8°-os) kék nyíl → az elektron sebességvektora. Amint látjuk, az elektron előrelökődik ilyenkor. Ha az egérrel az ábrára megyünk, szintén egy 511 keV-es foton szóródását látjuk, de majdnem egyenesen előre. Az ábra aszimmetriája miatt a szórt foton nyila távolabbi pontot metsz ki poláris görbéből, vagyis az előreszóródást sokkal valószínűbbnek találjuk. Figyeljük meg, hogy a Compton-elektron kék nyila sokkal rövidebb, és az elektron sebessége csaknem merőleges a szórt foton irányára.

Megjegyzés. A Klein–Nishina-formula nem az összes lehetséges θ szögű szórásról szól. Az utóbbiak mértani helye szintén az egység sugarú gömbön van, de nem egy petty, hanem egy olyan körkörös tartomány, melyet a θ fél nyílásszögű kúp metsz ki a gömb felületéből:

Ha tehát általában véve akarjuk tudni a θ szögben bekövetkező szóródások gyakoriságát, akkor a formulát súlyozni kell még a a 2π sin θ faktorral, mely kiemeli a 90° körüli eseményeket, és elnyomja a 0° és 180° körülieket. Éppen ezt látjuk a jobb oldali rolloveren, ha az egeret ráhúzva eltüntetjük a fedőképet, mely a fenti ábrán látható eloszlást mutatja, csak itt a θ = 45°-os szóródási irányt jelöltem be példa gyanánt. (Ugyanezt a szöget emeltem ki összehasonlítás végett a felbukkanó másik eloszláson is.)

A meglökött elektronok (Compton-elektronok) energiaeloszlása

Mivel T, ill. s szigorúan monoton növekvő függvénye a θ nyílásszögnek, a Klein–Nishina-formula alapján ki lehet számolni az elektronenergiák eloszlását is:

(Akit a fenti formula levezetése érdekel, töltse le a ValSum.pdf nevű fájlt, és olvassa el ezt az alfejezetet: A Compton-kontinuum alakja és a Klein–Nishina-formula. Csak 4 oldal ábrákkal együtt.)

A fenti egyenlet közvetlenül alkalmas a gamma-spektrumokban megfigyelhető Compton-tartomány (Compton-kontinuum és Compton-él ) értelmezésére, ti. amit ott látunk, az az elektronra vonatkozó eloszlás sztochasztikus elkenődésének tekinthető.

A jobb oldali ábra ugyancsak az 511 keV-es annihilációs foton esetére vonatkozik. A sárgával kitöltött zóna a Compton-elektron számára lehetséges energiaértékek fölött húzódik. Az ordinátaértékek a lehetséges elektronenergiák gyakoriságát tükrözik. A piros függőleges | az eredeti foton energiáját jelzi. Vegyük észre, hogy a foton csak az energiája egy részét képes átadni az elektronnak. Az adott esetben a maximális hányad 2/3. Ez megfelel annak, hogy az annihilációs fotonokra γ = 1.

Végül érdemes egy pillantást vetni az alábbi poláris diagramra is. A kék görbe segítségével a Compton-elektronnak jutó energiát olvashatjuk le a különböző szóródási geometriák esetében, melyeket itt a foton szóródási szöge (θ) jellemez.

Magyarázat A diagram rádiusza megfelel az annihilációs foton 511 keV-es energiájának. A vízszintes piros nyíl → hossza az eredeti foton energiáját jelzi, az állása pedig az irányát, mely egyben a szögmérés nullapontja. A ferde piros nyíl → hossza a szórt foton (maradék) energiáját jelzi, az állása pedig a szóródás irányát, mely az adott példában θ = 120°, tehát visszaszóródás jellegű. A ferde nyilat meghosszabbító fekete szakasz \ hosszúsága a Compton-elektronnak átadott energia nagyságát mutatja. Az elektron haladási irányát ez a diagram nem árulja el. Viszont ha megnézi az ember a Blinder-féle szimulációt, akkor arról leolvashatja azt is: φ = 16,1°, ill. ezen az ábrán 360° − 16,1° = 343,9°.