Monte Carlo-módszer: π értéke Asimov Téka ikonja

π ≈ 4 × (a kör területére eső találatok száma) / (a négyzet területére eső összes találat száma) =

Magyarázat

Vegyünk egy egység sugarú kört (r = 1). A kör területe π.Négyzetbe írt kör

A kört befoglaló négyzet oldalhosszúsága a = 2. A négyzet területe 4.

A kör és a négyzet területaránya π/4.

Ha a négyzet pontjai közül véletlenszerűen (vagyis folytonos egyenletes eloszlás szerint) kiválasztunk mondjuk 4000 darabot, akkor ezek vagy beleesnek a körbe (ezek pirossal vannak jelölve az ábrán), vagy nem esnek bele a körbe (ezek a kékek).

Vajon a véletlenszerűen kiválasztott pontok hányad része esik a körbe?

Aki hallott már geometriai valószínűségről, az nyilván azt mondja, hogy az arány várhatóan (tehát nem pontosan) π/4, mert a kör területén átlagban ugyanolyan sűrűn kell lenniük a pontoknak, mint bárhol a négyzeten belül, tehát a pontok számarányát a két terület aránya fejezi ki.

Érezzük azt is, hogy ha nagyon-nagyon sok véletlen pontot választanánk, akkor ez az eljárás egyre pontosabb becslést adna π/4 értékére, és ezzel π értékére is.

Ebből a példából jól érzékelhető a Monte Carlo-módszer lényege.

Tipp számítástechnika-tanároknak

Ha a középiskolás diákok közt vannak olyanok, akik szeretik a matekot, akkor talán értékelnék a probléma Excelesített verzióját. Vegyük a iménti ábra jobb felső negyedét, mely a pozitív síknegyedbe esik.Körnegyed

Az Excel RAND() véletlenszám-generátora [0, 1)-be eső egyenletes eloszlású véletlen számokat generál. Ha ezzel gyártunk x-y számpárokat, akkor azok mint koordináták a jobb oldali négyzet véletlenszerű pontjait határozzák meg. Honnan lehet tudni, hogy egy pont a körcikkbe esik-e, a többi piros közé? Onnan, hogy az origótól mért távolsága kisebb mint 1, ami persze a távolság négyzetére is áll az adott esetben. Tehát csak ki kell válogatni azokat az x-y párokat, melyekre
x2 + y2 < 1, hogy összeszámoljuk őket. A piros pontok aránya a többihez itt is π/4, tehát 4-gyel most is szorozni kell a végén.

 

Mathematik
Einfacher Online Funktionszeichner
Parabel- Graphik- Rechner
Zeit- und ortsabhängigen Funktionen f(x,t) einfach
Zeit- und ortsabhängigen Funktionen f(x,t) 2
Zeit- und ortsabhängigen Funktionen z=f(x,y,t) Kegelschnitt
Parameter-Funktionen x(t), y(t) Oszilloskop in x-y-Darstellung
Bestimmtes Integral Funktion mit Summation
Ableitung Funktion mit Ableitungen
Monte-Carlo-Pi-Ermittlung
Mandelbrot-Mengen

 

Physlet Menu bei MM-Physik

 


Graphik Physlet by  W. Christian

29. Dezember 2002 - Script by P.Krahmer

JAVA
Mathe
bei MM-Physik



Vissza a magyar tartalomjegyzékhez, ill. Nagy Sándor honlapjára!


Vissza Nagy Sándor honlapjára. Releváns |tIt| kínálat: Asimov Téka

Látogatószám 2013.02.22. óta:

webcounter.com