Következő lapNext Page Arrow

Fizlab (MyPhysicsLab.hu)

Rugó és tömeg mozgása

This page is part of the website prepared by Sándor Nagy with kind permission from Erik Neumann as a translation to Hungarian of his original site MyPhysicsLab—Physics Simulation with Java.

A szimuláció egyetlen tömeget mutat (egy anyagtömböt jelképező négyzetet), mely rugó közvetítésével csatlakozik a falhoz. Amit látunk, jó példa egy egyszerű lineáris oszcillátorra.
A szimuláció változtatható paraméterei a tömeg, a rugómerevség, a rugóhossz és a súrlódás (csillapítás). A tömb kiindulási helyzetét (a négyzet bal széle) az egérrel lehet megváltoztatni. Ha a rugó éppen rövidebb, mint a paraméterablakban látható, beállított nyugalmi hossz, akkor a színe piros, egyébként pedig zöld.
Ha nem jön elő a szimuláció, akkor érdemes elolvasni a Java engedélyezéséről szóló instrukciókat. A kapcsolatos fizikát és matekot lásd lentebb.


Kérdések

A paraméterek (tömeg és rugómerevség) változtatásával, valamint a grafikonok segítségével próbáljunk választ adni a következő kérdésekre: A válaszokat alább ellenőrizhetjük.

A grafikon és a paraméterek a megfelelő kijelölőnégyzetek segítségével tehetők láthatóvá, ill. változtathatóvá. A legördülő menük segítségével el lehet dönteni, hogy mi szerepeljen a grafikon függőleges (Y), ill. vízszintes (X) tengelyén. Ha egy paraméter értékét meg akarjuk változtatni, kattintsunk rá, gépeljük be az új értéket, majd nyomjuk meg a Enter billentyűt.

Fizika

A következő változókat és konstansokat fogjuk használni: Egy rugóban ébredő erő arányos a rugóhossz megváltozásával – nyúlás vagy zsugorodás –, de a zsugorodást is (negatív) nyúlásnak foghatjuk fel (megnyúlás). A rugóerő a megnyúlással ellentétes irányú: Frugó = −k × megnyúlás Ha a koordinátarendszert úgy választjuk meg, hogy az x = 0 eset megfeleljen a nyugalmi helyzetben lévő (nyújtatlan állapotú) rugónak, akkor a rugó megnyúlásának értéke egyszerűen x. Ezzel a rugóerőt így írhatjuk fel: Frugó = − k x Ezen kívül csillapítás (súrlódás) is fellép, mely fékezi a mozgást. Ez a fékező erő a sebességgel arányos. Ezért még az Fcsillapítás = −b v tagot is figyelembe kell vennünk, hogy az eredő F = Frugó + Fcsillapítás = − k xb v erőt megkapjuk. Ha ezt a formulát a Newton-féle F = m a mozgástörvénnyel kombináljuk, és figyelembe vesszük, hogy a gyorsulás a helyzet második deriváltja az idő szerint: a = x'' akkor megkapjuk az m x'' = −k xb v differenciálegyenletet, melyet így is felírhatunk:
x'' = − km xbm x' (1)
Az (1) egyenlet a rugó mozgásegyenlete, mely pontosan meghatározza, melyik időpontban mire kell számítani.

Ha a szimuláció grafikonját engedélyezzük, akkor ezzel tulajdonképpen az (1) egyenletet jelenítjük meg. Legyen a csillapítás nulla (írjunk be 0-t a csillapítás értékmezejébe, majd nyomjunk Entert). Ha ekkor úgy állítjuk be a szimulációt, hogy a grafikon a gyorsulást a helyzet függvényében mutassa, akkor egy olyan egyenest kapunk, mely esetében a meredekség = −k/m. Ha tehát növeljük a rugó merevségét, akkor az egyenes meredekebb lesz. Ha viszont a tömeget növeljük, akkor a meredekség csökken.

Numerikus megoldás

A fenti egyenlet numerikus (vagyis számítógépes) megoldásához a Runge–Kutta-módszert használjuk. Ehhez az (1) másodrendű differenciálegyenletet elsőrendű differenciálegyenletekké kell alakítanunk. Ne feledjük, hogy a gyorsulás a sebesség első deriváltja: x'' = v'. Ezért az (1) egyenletet két elsőrendű differenciálegyenlettel is kifejezhetjük: x' = v v' = − km xbm v Ez már megfelel arra, hogy a Runge–Kutta-módszert a differenciálegyenlet numerikus megoldására használjuk.

A szimuláció indításakor beállítjuk az x,v változók t=0 időponthoz tartozó kezdeti értékeit. Ezután a a Runge–Kutta-algoritmus segítségével kiszámítjuk az x,v változók értékeit egy picivel későbbi időpontra, és így tovább, “a végtelenségig”.

Analitikus megoldás

Az analitikus megoldás során a matematika eszközeivel jutunk el a megoldáshoz, ahelyett, hogy egy számítógép segítségét vennénk igénybe. A módszer előnye, hogy mélyebb bepillantást kapunk a probléma természetébe, s nem kell sokmilliárd-biliárd számot analizálni, ami egy numerikus megoldás során előjön.

Ha nincs csillapítás (b = 0) és a tömb kezdetben nyugalomban volt, akkor az analitikus megoldás x(t) = x_0 \cos(\sqrt{k/m} \; t) ahol x0 = a tömb kiindulási helyzete és t = az idő. Az oszcilláció periódusa (periódusideje) azt az időt jelenti, ami a megismétlődéshez kell. A megoldásból látszik, hogy a megismétlődés akkor következik be, amikor \sqrt{k/m} \; t = 2 \pi, tehát a periódus t = 2 \pi \sqrt{m/k}
A frekvencia a periódus reciproka: frequencia = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{k/m} Így előre látni lehet, hogy Ezeket a jóslatokat könnyen ellenőrizhetjük a szimulációval: csak a paraméterek megváltoztatására van szükség (no meg egy stopperre, a frekvencia/periódus méréséhez).

Akit érdekel, az megnézheti az analitikus megoldás levezetését is.

Válaszok a kérdésekre

Milyen kapcsolatban van a tömb helyzete és gyorsulása?

Válasz: A kapcsolat lineáris, amit a következő egyenlet fejez ki x'' = − km x ahol x = helyzet, x'' = gyorsulás, m = tömeg, k = rugómerevség.

Hogyan befolyásolja a tömeg és a rugómerevség a gyorsulás és a helyzet kapcsolatát?

Válasz: Az x'' = − km x egyenletből tudjuk, hogy a gyorsulás egyszerű lineáris kapcsolatban van a helyzettel. Az egyenes meredekségét a tömb tömege és a rugó merevsége határozza meg.

Hogyan befolyásolja a tömeg és a rugómerevség az oszcilláció periódusát?

Válasz: Az analitikus megoldás x(t) = x_0 \cos(\sqrt{k/m} \; t) ezért a frekvencia = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{k/m} ebből következik, hogy


Látogatószám 2013.02.27. óta:

web statistics