Fizlab (MyPhysicsLab.hu)
Kaotikus ingamozgás
This page is part
of the website prepared by Sándor Nagy with
kind permission from Erik Neumann
as a translation to Hungarian of his original site MyPhysicsLab—Physics
Simulation with Java.
A csillapított és egyszersmind meghajtott (gerjesztett) ingát gyakran használják
a kaotikus rendszerek alapmodelljeként. A kaotikus rendszer jövőbeli viselkedése
erősen függ a kezdeti feltételek pontos jellemzőitől. Egy csöpp változás a kezdeti
feltételekben, és kicsivel később óriási különbségek lesznek a kifejletben.
A szimuláció változtatható paraméterei – a tömegen, a gravitáción és
a csillapításon kívül – a gerjesztési amplitúdó és a gerjesztési frekvencia.
Az egérrel állítani lehet az inga kezdeti kitérését is.
Ha nem jön elő a szimuláció, akkor érdemes elolvasni a
Java engedélyezéséről szóló instrukciókat. A kapcsolatos fizikát és matekot
lásd lentebb.
Inga csillapítással és gerjesztéssel
Az ingamozgás a súrlódás miatt csillapodik, vagyis idővel csökken a kilengés mértéke,
ha nincs hajtóerő, ami a veszteséget pótolná. Ennek érzékeltetése végett állítsuk
a gerjesztési amplitúdót nullára, hogy csak a gravitáció és a csillapítás ereje
hasson az ingára.
A periodikus hajtóerőt (gerjesztő erőt) ívelt nyíl mutatja a szimulációban.
A nyíl hossza megfelel az adott pillanatban ható forgatónyomaték nagyságának.
A nyíl iránya, mely hol egyezik az óra járásával, hol ellentétes vele, az alkalmazott
erő irányát mutatja. Változtathatjuk a meghajtó/gerjesztő erő amplitúdóját (nagyságát)
és frekvenciáját (~az irányváltás gyakoriságát).
A paraméterek (pl. hossz, gravitáció, gerjesztési amplitúdó, gerjesztési frekvencia,
csillapítás,...) értékének nem minden kombinációja vezet káoszhoz. Sok kombináció
periodikusan ismétlődő viselkedéshez vezet. Kattintsunk a "Szimpla ciklus" gombra,
hogy ezt kipróbáljuk. Kb. egy percig kell várni, hogy az inga mozgása megállapodjon
egy ismétlődő ciklus szerint.
Van egy olyan jelenség, melyet
periódusduplázódásnak vagy
bifurkációnak
hívnak. Ez azt jelenti, hogy ha lassan növeljük valamelyik paraméter értékét
(pl. a gerjesztő amplitúdót), akkor egy ponton az ismétlődő viselkedés ciklusainak
száma megkettőződik. A fenti gombok némelyike arra való, hogy fokozatosan változtassa
a gerjesztési amplitúdót, hogy ezzel szemléltesse, mit is jelent ez a duplázódás.
Miután több periódusduplázódás is bekövetkezett, a rendszer egyszer csak kaotikussá
válik. Kattintsunk az egyik "Káosz" feliratú gombra, mely ennek megfelelő paraméterértékeket
állít be. A kaotikus mozgásnak az az érdekessége, hogy nem teljesen random (~kiszámíthatatlan
és rendezetlen). Igaz, hogy nem lehet megjósolni pontosan a rendszer
jövőbeli viselkedését egy adott pillanatban, de meg lehet mutatni, hogy a rendszer
viselkedése valamilyen bonyolult mintázatot fog követni. Ilyen mintázatok a
fraktálok, amelyek bizonyos értelemben önmaguk ismétléseiből állnak,
ha felnagyítjuk őket.
Fizika
Ingaváltozók
Az ingát egy elhanyagolható (0) tömegű rúd
végén rögzülő tömegponttal modellezzük. A csillapítás (súrlódás) arányos az
inga szögsebességével. Van egy külső hajtóerő is, mely periodikus forgatónyomatékot
hoz létre. Definiáljuk a következő változókat:
- θ = az inga (állás)szöge
(0 = függőleges)
- ω = θ' = szögsebesség
- R = rúdhossz
- m = ingatömeg
- g = gravitációs konstans
- b = csillapítási (súrlódási)
tényező
- A = a hajtó/gerjesztő erő amplitúdója
- k = a gerjesztőerő frekvenciájával
kapcsolatos konstans
- t = idő (másodpercben)
Az inga mozgásegyenletét Newton második törvényének forgó mozgásra vonatkozó változatára
vezetjük vissza, rögzített forgáspontot feltételezve, azaz
- ∑ τ = az eredő forgatónyomaték
- I = tehetetlenségi nyomaték
- α = θ'' = szöggyorsulás
A forgáspontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték
I
= m R2. A forgatónyomatékot a(z erő támadáspontjába
mutató) helyzetvektor és az erő vektoriális szorzata adja.
- A gravitáció által okozott forgatónyomaték: τ
= −R m g sin θ.
- A súrlódás által okozott forgatónyomaték: τ
= −b ω.
- A periodikus gerjesztő erő által okozott forgatónyomaték: τ
= A cos(k t).
Így az (1) egyenlet alapján
m R2
α = −R m g sin θ −
b ω + A
cos(k t) amit a következő alakban is felírhatunk
θ'' = − g⁄R sin θ +
|
−b θ' + A cos(k t)
|
m R2
|
Ez utóbbi a csillapított
és gerjesztett inga mozgásegyenlete.
Numerikus megoldás
A szimuláció működtetéséhez numerikusan fogjuk megoldani a mozgásegyenletet. A
megoldáshoz a közönséges diffegyenletekhez való
Runge–Kutta-módszert
fogjuk használni. Ehhez kellett bevezetnünk a szögsebesség nevű változót:
ω
= θ'. Kihasználjuk, hogy van egy egyenletünk az időre is,
hiszen az idő explicite megjelenik a gerjesztő erő kifejezésében:
A
cos(k t). Így a fenti másodrendű differenciálegyenletet
három elsőrendű egyenlettel helyettesíthetjük:
t'
= 1
θ' = ω
ω' = − g⁄R sin θ +
|
−b ω + A cos(k t)
|
m R2
|
Épp erre van szükségünk ahhoz, hogy a Runge–Kutta-algoritmust használni
tudjuk.