Következő lapNext Page Arrow

Fizlab (MyPhysicsLab.hu)

Kaotikus ingamozgás

This page is part of the website prepared by Sándor Nagy with kind permission from Erik Neumann as a translation to Hungarian of his original site MyPhysicsLab—Physics Simulation with Java.

A csillapított és egyszersmind meghajtott (gerjesztett) ingát gyakran használják a kaotikus rendszerek alapmodelljeként. A kaotikus rendszer jövőbeli viselkedése erősen függ a kezdeti feltételek pontos jellemzőitől. Egy csöpp változás a kezdeti feltételekben, és kicsivel később óriási különbségek lesznek a kifejletben.
A szimuláció változtatható paraméterei – a tömegen, a gravitáción és a csillapításon kívül – a gerjesztési amplitúdó és a gerjesztési frekvencia. Az egérrel állítani lehet az inga kezdeti kitérését is.
Ha nem jön elő a szimuláció, akkor érdemes elolvasni a Java engedélyezéséről szóló instrukciókat. A kapcsolatos fizikát és matekot lásd lentebb.


Az alábbi gombok paramétereket szabályoznak. Kell némi türelem, míg a ciklusok/periódusok nyilvánvalóvá válnak a grafikonon.

Inga csillapítással és gerjesztéssel

Az ingamozgás a súrlódás miatt csillapodik, vagyis idővel csökken a kilengés mértéke, ha nincs hajtóerő, ami a veszteséget pótolná. Ennek érzékeltetése végett állítsuk a gerjesztési amplitúdót nullára, hogy csak a gravitáció és a csillapítás ereje hasson az ingára.

A periodikus hajtóerőt (gerjesztő erőt) ívelt nyíl mutatja a szimulációban. A nyíl hossza megfelel az adott pillanatban ható forgatónyomaték nagyságának. A nyíl iránya, mely hol egyezik az óra járásával, hol ellentétes vele, az alkalmazott erő irányát mutatja. Változtathatjuk a meghajtó/gerjesztő erő amplitúdóját (nagyságát) és frekvenciáját (~az irányváltás gyakoriságát).

A paraméterek (pl. hossz, gravitáció, gerjesztési amplitúdó, gerjesztési frekvencia, csillapítás,...) értékének nem minden kombinációja vezet káoszhoz. Sok kombináció periodikusan ismétlődő viselkedéshez vezet. Kattintsunk a "Szimpla ciklus" gombra, hogy ezt kipróbáljuk. Kb. egy percig kell várni, hogy az inga mozgása megállapodjon egy ismétlődő ciklus szerint.

Van egy olyan jelenség, melyet periódusduplázódásnak vagy bifurkációnak hívnak. Ez azt jelenti, hogy ha lassan növeljük valamelyik paraméter értékét (pl. a gerjesztő amplitúdót), akkor egy ponton az ismétlődő viselkedés ciklusainak száma megkettőződik. A fenti gombok némelyike arra való, hogy fokozatosan változtassa a gerjesztési amplitúdót, hogy ezzel szemléltesse, mit is jelent ez a duplázódás.

Miután több periódusduplázódás is bekövetkezett, a rendszer egyszer csak kaotikussá válik. Kattintsunk az egyik "Káosz" feliratú gombra, mely ennek megfelelő paraméterértékeket állít be. A kaotikus mozgásnak az az érdekessége, hogy nem teljesen random (~kiszámíthatatlan és rendezetlen). Igaz, hogy nem lehet megjósolni pontosan a rendszer jövőbeli viselkedését egy adott pillanatban, de meg lehet mutatni, hogy a rendszer viselkedése valamilyen bonyolult mintázatot fog követni. Ilyen mintázatok a fraktálok, amelyek bizonyos értelemben önmaguk ismétléseiből állnak, ha felnagyítjuk őket.

Fizika

pendulum variables are theta angle and R length
Ingaváltozók
Az ingát egy elhanyagolható (0) tömegű rúd végén rögzülő tömegponttal modellezzük. A csillapítás (súrlódás) arányos az inga szögsebességével. Van egy külső hajtóerő is, mely periodikus forgatónyomatékot hoz létre. Definiáljuk a következő változókat:
Az inga mozgásegyenletét Newton második törvényének forgó mozgásra vonatkozó változatára vezetjük vissza, rögzített forgáspontot feltételezve, azaz
   I α = ∑ τ (1)
A forgáspontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték I = m R2. A forgatónyomatékot a(z erő támadáspontjába mutató) helyzetvektor és az erő vektoriális szorzata adja. Így az (1) egyenlet alapján m R2 α = −R m g sin θb ω + A cos(k t) amit a következő alakban is felírhatunk
θ'' = − gR  sin θ +   b θ' + A cos(k t)
m R2
Ez utóbbi a csillapított és gerjesztett inga mozgásegyenlete.

Numerikus megoldás

A szimuláció működtetéséhez numerikusan fogjuk megoldani a mozgásegyenletet. A megoldáshoz a közönséges diffegyenletekhez való Runge–Kutta-módszert fogjuk használni. Ehhez kellett bevezetnünk a szögsebesség nevű változót: ω = θ'. Kihasználjuk, hogy van egy egyenletünk az időre is, hiszen az idő explicite megjelenik a gerjesztő erő kifejezésében: A cos(k t). Így a fenti másodrendű differenciálegyenletet három elsőrendű egyenlettel helyettesíthetjük: t' = 1
θ' = ω
ω' = − gR sin θ +   b ω + A cos(k t)
m R2
Épp erre van szükségünk ahhoz, hogy a Runge–Kutta-algoritmust használni tudjuk.

Látogatószám 2013.02.27. óta:

site analysis