Következő lapNext Page Arrow

Fizlab (MyPhysicsLab.hu)

Egyszerű inga mozgása

This page is part of the website prepared by Sándor Nagy with kind permission from Erik Neumann as a translation to Hungarian of his original site MyPhysicsLab—Physics Simulation with Java.

Ez a szimuláció egy egyszerű ingát mutat, melyre gravitáció hat. Az inga kis kilengések esetében (közel) lineáris oszcillációt végez, de az oszcilláció nemlineárissá válik, ha nagy a kilengés amplitúdója.
A szimuláció változtatható paraméterei a tömeg, a gravitáció (a szabadesés gyorsulása) és a súrlódás (csillapítás). Igazából állítható az ingarúd hossza is, és periodikusan lehet lökdösni is az ingát. Az utóbbit – kényszerrezgés – a gerjesztési amplitúdó és frekvencia szabályozza. Az egérrel állítani lehet az inga kezdeti kitérését. A szimuláció alatt van néhány további gomb is. Az ilyenek mindig úgy állítják be bizonyos paraméterek értékét, hogy azok az illető gombra írt körülményeket valósítsák meg.
Ha nem jön elő a szimuláció, akkor érdemes elolvasni a Java engedélyezéséről szóló instrukciókat. A kapcsolatos fizikát és matekot lásd lentebb.


        

Kérdések

A paraméterek (tömeg, ingahossz és gravitáció) változtatásával, valamint a grafikonok segítségével próbáljunk választ adni a következő kérdésekre: Megjegyzés: Hagyjuk nullán a csillapítást és a gerjesztési amplitúdót, mert ezek elbonyolítják a dolgokat. A válaszokat alább ellenőrizhetjük. (Útmutatás: Próbáljuk elindítani az ingát a legfelső helyzet közvetlen közeléből.)

Fizika – forgó mozgás



pendulum variables are theta angle and R length
Ingaváltozók
Az ingát egy elhanyagolható (0) tömegű merev rúd végéhez rögzített tömegponttal modellezzük. A következő változókat definiáljuk:
Az inga mozgásegyenletét Newton második törvényének forgó mozgásra vonatkozó változatára vezetjük vissza, rögzített forgáspontot feltételezve, azaz τ = I α ahol A forgáspontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték most I = m R2. A forgatónyomatékot a(z erő támadáspontjába mutató) helyzetvektor és az erő vektoriális szorzata adja. A gravitáció által okozott forgatónyomaték nagysága így a következő: τ = −R m g sin θ. Ebből adódóanR m g sin θ = m R2 α ami egyszerűsítés után:
θ'' = − gR sin θ (1)
Ez az inga mozgásegyenlete.

Fizika – direkt módszer

Legtöbb diák számára kevesebbet mond a forgatónyomaték és a tehetetlenségi nyomaték, mint a szimpla erő és tömeg Newton második törvényében: F = m a. Szeretném megmutatni, hogy semmi új nincs a Newton-tétel forgásra vonatkozó változatában, ezért a mozgásegyenleteket forgásdinamika nélkül fogom levezetni. Ehhez viszont egy kicsivel többet kell számolni.


i and j unit vectors



pendulum variables are theta angle and R length




pendulum forces
Ingaerők

Szükségünk lesz a szokásos i, j egységvektorokra. A vektorokat félkövér betűvel és föléhúzással fogjuk jelölni. Az inga kinematikája: helyzet = R sin θ iR cos θ j sebesség = R θ' cos θ i + R θ' sin θ j
gyorsulás = R(θ'' cos θ iθ' 2 sin θ i + θ'' sin θ j + θ' 2 cos θ j) A helyzetet egyszerű trigonometriával kaptuk. A sebesség, ill. a gyorsulás a helyzet első, ill. második deriváltja.

Most pedig rajzoljuk fel az ingamozgás vektorábráját. Az ingaerők a rúdban ébredő T húzóerő és a gravitáció. Ezekből így írható fel az eredő erő: F = T cos θ jT sin θ im g j
Ha az F = m a Newton-törvényt és a gyorsulás definícióját az ingára alkalmazzuk, ezt kapjuk: T cos θ jT sin θ im g j = m R(θ'' cos θ iθ' 2 sin θ i + θ'' sin θ j + θ' 2 cos θ j) A fenti egyenlet vektorkomponenseire vonatkozó egyenleteket külön is felírhatjuk. Így egy egyenletrendszert kapunk, melynek első tagja: az i komponensre vonatkozik, a másik pedig a j komponensre. T sin θ = m R(θ'' cos θθ' 2 sin θ) T cos θm g = m R(θ'' sin θ + θ' 2 cos θ) Most egy kis algebrázás következik, hogy az ismeretlen T-t kiküszöböljük Szorozzuk meg az első egyenletet cos θ-val, a másodikat pedig sin θ-val. T sin θ cos θ = m R(θ'' cos2θθ' 2 sin θ cos θ) T cos θ sin θm g sin θ = m R(θ'' sin2θ + θ' 2 sin θ cos θ) Használjuk az első egyenletet a másodikban lévő T cos θ sin θ behelyettesítésére. Még egy kis algebrázás után ezt kapjuk: θ'' cos2θ + θ' 2 sin θ cos θ = θ'' sin2θ + θ' 2 sin θ cos θ + gR sin θ A cos2θ + sin2θ = 1 trigonometriai azonosságot figyelembe véve máris megkapjuk az (1) egyenletet: θ'' = − gR sin θ

Fizika – energiamódszer

Van még egy módja annak, hogy az inga mozgásegyenleteit meghatározzuk. Ez egy "indirekt", energiára épülő módszer, melynek az efféle kifejezésekhez van köze, mint a "Lagrange-függvény", "Euler–Lagrange-egyenletek", "Hamilton-függvény" stb. Most nem foglalkozunk ezzel, de az Inga és kocsi mozgása c. szimulációnál látunk egy példát erre is.

Numerikus megoldás

A szimuláció működtetéséhez numerikusan fogjuk megoldani a mozgásegyenletet. A megoldáshoz a közönséges diffegyenletekhez való Runge–Kutta-módszert fogjuk használni. Először is bevezetjük a szögsebesség nevű változót: ω = θ'. Így az (1) másodrendű differenciálegyenlet helyett két elsőrendű differenciálegyenletünk lesz: θ' = ω ω' = − gR sin θ Épp erre van szükségünk ahhoz, hogy a Runge–Kutta-módszert használni tudjuk.

Válaszok a kérdésekre

Kérdés: Milyen összefüggés van a szögsebesség és a szög között?

Válasz: Szinuszos kapcsolat van, melyet az (1) egyenlet mutat: θ'' = − gR sin θ

Kérdés: Hogyan befolyásolja a tömeg, a hossz és a gravitáció a szöggyorsulás és a szög közötti kapcsolatot?

Válasz: Az (1) egyenlet szerint:

Kérdés: Kis kilengési amplitúdó esetében hogyan befolyásolja az ingahossz és a gravitáció erőssége az oszcilláció periódusát és frekvenciáját?

Válasz: Kis kilengési amplitúdók esetén használhatjuk a sin θ = θ közelítést. Így a mozgásegyenlet a következő lesz: θ'' = − gR θ Ez egy szimpla lineáris összefüggés. A szimulációval ellenőrizhetjük, hogy kis oszcillációkra a gyorsulás–szög grafikon nagyjából egyenes vonalat ad. Ez ugyanolyan típusú egyenlet, mint a Rugó és tömeg mozgása szimulációé. Az analitikus megoldás: \theta(t) = \theta_0 \cos(\sqrt{g/R} \; t) ahol θ0 a kezdő szög, t pedig az idő. A periódus(idő) azt az időtartamot jelenti, mely ahhoz kell, hogy θ(t) "megismétlődjék", vagyis a periódus = \frac{2 \pi}{\sqrt{g/R}} Az oszcilláció frekvenciája a periódusidó reciproka: frekvencia = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{g/R} Így a következő jóslatokat tehetjük


Látogatószám 2013.02.27. óta:

free counters