Fizlab (MyPhysicsLab.hu)
Egyszerű inga mozgása
This page is part
of the website prepared by Sándor Nagy with
kind permission from Erik Neumann
as a translation to Hungarian of his original site MyPhysicsLab—Physics
Simulation with Java.
Ez a szimuláció egy egyszerű ingát mutat, melyre gravitáció hat. Az inga kis
kilengések esetében (közel) lineáris oszcillációt végez, de az oszcilláció nemlineárissá
válik, ha nagy a kilengés amplitúdója.
A szimuláció változtatható paraméterei a tömeg, a gravitáció (a szabadesés
gyorsulása) és a súrlódás (csillapítás). Igazából állítható az ingarúd hossza
is, és periodikusan lehet lökdösni is az ingát. Az utóbbit – kényszerrezgés
– a gerjesztési amplitúdó és frekvencia szabályozza. Az egérrel állítani
lehet az inga kezdeti kitérését. A szimuláció alatt van néhány további
gomb is. Az ilyenek mindig úgy állítják be bizonyos paraméterek értékét, hogy
azok az illető gombra írt körülményeket valósítsák meg.
Ha nem jön elő a szimuláció, akkor érdemes elolvasni a
Java engedélyezéséről szóló instrukciókat. A kapcsolatos fizikát és matekot
lásd lentebb.
Kérdések
A paraméterek (tömeg, ingahossz és gravitáció) változtatásával, valamint a grafikonok
segítségével próbáljunk választ adni a következő kérdésekre:
- Milyen összefüggés van a szögsebesség és a szög között?
- Hogyan befolyásolja a tömeg, a hossz és a gravitáció a szöggyorsulás és
a szög közötti kapcsolatot?
- Kis kilengési amplitúdó esetében hogyan befolyásolja az ingahossz és a
gravitáció erőssége az oszcilláció periódusát és frekvenciáját?
Megjegyzés: Hagyjuk nullán a csillapítást és a gerjesztési amplitúdót, mert
ezek elbonyolítják a dolgokat. A
válaszokat alább ellenőrizhetjük.
(Útmutatás: Próbáljuk elindítani az ingát a legfelső helyzet közvetlen közeléből.)
Fizika – forgó mozgás
Ingaváltozók
Az ingát egy elhanyagolható (0) tömegű merev
rúd végéhez rögzített tömegponttal modellezzük. A következő változókat definiáljuk:
- θ = az inga szöge (0
= függőleges)
- R = a rúd hossza
- T = a rúd húzóereje
- m = az inga tömege
- g = gravitációs konstans
Az inga mozgásegyenletét Newton második törvényének forgó mozgásra vonatkozó változatára
vezetjük vissza, rögzített forgáspontot feltételezve, azaz
τ
= I α ahol
- τ = az eredő forgatónyomaték
- I = tehetetlenségi nyomaték
- α = θ'' = szöggyorsulás
A forgáspontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték most
I
= m R2. A forgatónyomatékot a(z erő támadáspontjába
mutató) helyzetvektor és az erő vektoriális szorzata adja. A gravitáció által
okozott forgatónyomaték nagysága így a következő:
τ
= −R m g sin θ. Ebből adódóan
−R m g sin θ = m R2
α ami egyszerűsítés után:
Ez az inga mozgásegyenlete.
Fizika – direkt módszer
Legtöbb diák számára kevesebbet mond a forgatónyomaték és a tehetetlenségi nyomaték,
mint a szimpla erő és tömeg Newton második törvényében:
F
= m a. Szeretném megmutatni,
hogy semmi új nincs a Newton-tétel forgásra vonatkozó változatában, ezért a
mozgásegyenleteket forgásdinamika nélkül fogom levezetni. Ehhez viszont egy
kicsivel többet kell számolni.
Szükségünk lesz a szokásos
i,
j egységvektorokra. A vektorokat félkövér
betűvel és föléhúzással fogjuk jelölni.
- i =
a vízszintes egységvektor
- j =
a függőleges egységvektor
Az inga kinematikája:
helyzet = R sin θ
i − R cos θ j
sebesség = R θ' cos
θ i + R θ'
sin θ j
gyorsulás = R(θ'' cos
θ i − θ'
2 sin θ i
+ θ'' sin θ j
+ θ' 2 cos θ j)
A helyzetet egyszerű trigonometriával kaptuk. A sebesség, ill. a gyorsulás
a helyzet első, ill. második deriváltja.
Most pedig rajzoljuk fel az ingamozgás vektorábráját. Az ingaerők a rúdban
ébredő
T húzóerő és a gravitáció. Ezekből
így írható fel az eredő erő:
F
= T cos θ j − T
sin θ i − m g
j
Ha az
F = m a
Newton-törvényt és a gyorsulás definícióját az ingára alkalmazzuk, ezt kapjuk:
T cos θ j − T
sin θ i − m g
j = m R(θ''
cos θ i − θ'
2 sin θ i +
θ'' sin θ j
+ θ' 2 cos θ j)
A fenti egyenlet vektorkomponenseire vonatkozó egyenleteket külön is
felírhatjuk. Így egy egyenletrendszert kapunk, melynek első tagja: az
i
komponensre vonatkozik, a másik pedig a
j
komponensre.
−T sin θ =
m R(θ'' cos θ − θ'
2 sin θ) T
cos θ − m g = m R(θ''
sin θ + θ' 2 cos θ)
Most egy kis algebrázás következik, hogy az ismeretlen
T-t
kiküszöböljük Szorozzuk meg az első egyenletet
cos
θ-val, a másodikat pedig
sin θ-val.
−T sin θ cos θ
= m R(θ'' cos2θ − θ'
2 sin θ cos θ)
T cos θ sin θ − m g sin
θ = m R(θ'' sin2θ
+ θ' 2 sin θ cos θ)
Használjuk az első egyenletet a másodikban lévő
T
cos θ sin θ behelyettesítésére. Még egy kis
algebrázás után ezt kapjuk:
−θ''
cos2θ + θ' 2 sin θ
cos θ = θ'' sin2θ + θ'
2 sin θ cos θ + g⁄R
sin θ A
cos2θ
+ sin2θ = 1 trigonometriai azonosságot figyelembe
véve máris megkapjuk az (1) egyenletet:
θ''
= − g⁄R sin θ
Fizika – energiamódszer
Van még egy módja annak, hogy az inga mozgásegyenleteit meghatározzuk. Ez egy
"indirekt", energiára épülő módszer, melynek az efféle kifejezésekhez van köze,
mint a "Lagrange-függvény", "Euler–Lagrange-egyenletek", "Hamilton-függvény"
stb. Most nem foglalkozunk ezzel, de az
Inga
és kocsi mozgása c. szimulációnál látunk egy példát erre is.
Numerikus megoldás
A szimuláció működtetéséhez numerikusan fogjuk megoldani a mozgásegyenletet. A
megoldáshoz a közönséges diffegyenletekhez való
Runge–Kutta-módszert
fogjuk használni. Először is bevezetjük a szögsebesség nevű változót:
ω
= θ'. Így az (1) másodrendű differenciálegyenlet helyett
két elsőrendű differenciálegyenletünk lesz:
θ'
= ω ω' = −
g⁄R sin θ Épp
erre van szükségünk ahhoz, hogy a Runge–Kutta-módszert használni tudjuk.
Válaszok a kérdésekre
Kérdés: Milyen összefüggés van a szögsebesség és a szög között?
Válasz: Szinuszos kapcsolat van, melyet az (1) egyenlet mutat:
θ'' = − g⁄R
sin θ
Kérdés: Hogyan befolyásolja a tömeg, a hossz és a gravitáció a szöggyorsulás és
a szög közötti kapcsolatot?
Válasz: Az (1) egyenlet szerint:
- A tömeg egyáltalán nincs hatással a mozgásra.
- A szinuszos összefüggés amplitúdója egyenesen arányos a gravitációval.
- A szinuszos összefüggés amplitúdója fordítottan arányos az inga hosszával.
Kérdés: Kis kilengési amplitúdó esetében hogyan befolyásolja az ingahossz és a
gravitáció erőssége az oszcilláció periódusát és frekvenciáját?
Válasz: Kis kilengési amplitúdók esetén használhatjuk a sin
θ = θ közelítést. Így a mozgásegyenlet a
következő lesz: θ'' = − g⁄R
θ Ez egy szimpla lineáris
összefüggés. A szimulációval ellenőrizhetjük, hogy kis oszcillációkra a gyorsulás–szög
grafikon nagyjából egyenes vonalat ad. Ez ugyanolyan típusú egyenlet, mint
a Rugó és tömeg mozgása szimulációé. Az analitikus
megoldás:
ahol θ0 a
kezdő szög, t pedig az idő. A periódus(idő)
azt az időtartamot jelenti, mely ahhoz kell, hogy θ(t)
"megismétlődjék", vagyis a periódus =
Az oszcilláció frekvenciája a periódusidó reciproka:
frekvencia =
Így a következő jóslatokat tehetjük
- ha a hosszat 4-szeresére növeljük, a periódusidő megduplázódik, a frekvencia
pedig megfeleződik;
- ha a gravitációt 4-szeresére növeljük, a periódusidő megfeleződik, a frekvencia
pedig megduplázódik;