Következő lapNext Page Arrow

Fizlab (MyPhysicsLab.hu)

Rugótandem 2D-ben

This page is part of the website prepared by Sándor Nagy with kind permission from Erik Neumann as a translation to Hungarian of his original site MyPhysicsLab—Physics Simulation with Java.

A szimuláció két tömeget mutat (l. a két kört). Ezeket rugó köt össze, s ráadásul az első tömeg egy másik rugó közvetítésével a mennyezethez is kapcsolódik. A tömegek kétdimenziós mozgást végeznek: föl-le (y: ↑ ↓), ill. jobbra-balra (x: → ←), továbbá ki vannak téve a gravitációnak is.
Mindkét tömeg mozgatható az egérrel, sőt, lehet mozgatni a felfüggesztési pontot is (négyzet). A Statikus állapot gomb függőleges nyugalmi állapotba viszi a rugókat, melyből az egérrel lehet kimozdítani a rendszert. A szimuláció változtatható paraméterei a tömegek, a rugómerevségek, rugóhosszak, valamint a gravitáció és a súrlódás (csillapítás).
Ha nem jön elő a szimuláció, akkor érdemes elolvasni a Java engedélyezéséről szóló instrukciókat. A kapcsolatos fizikát és matekot lásd lentebb.


Fizika

Tekintsünk egy rögzített (de az egérrel elmozdítható) felfüggesztési pontot, melyről egy tömeg nélküli rugó lóg, másik végén egy tömeggel rendelkező tömeggel, melyről egy hasonló rugó–tömeg páros csüng, és az egész két dimenzióban képes nyúlni–lengeni. Tekintsük a tömegeket pontszerűeknek. A felső rugó–tömeg párosra az 1-es alsó index utal, míg az alsóra a 2-es.



2-dimensional double spring variables
Rugótandem-változók 2D-ben
Definiáljuk a következő változókat: Definiáljunk néhány állandót is: Jegyezzük meg, hogy ebben a szimulációban a függőleges helyzet(koordináta) lefelé növekszik.

Íme a mozgásegyenletek. A levezetés hasonlóan megy, mint az egy rugó–tömeg párosra vonatkozó Kétdimenziós rugómozgás esetében. F1x = m1 a1x = −k1 S1 sin θ1b1 v1x + k2 S2 sin θ2
F1y = m1 a1y = −k1 S1 cos θ1b1 v1y + k2 S2 cos θ2 + m1 g
F2x = m2 a2x = −k2 S2 sin θ2b2 v2x
F2y = m2 a2y = −k2 S2 cos θ2b2 v2y + m2 g
Az Sn rugómegnyúlások és a θn szögek az un helyzetkoordináták függvényei: L1 = √((u1xTx)2 + (u1yTy)2)
L2 = √((u2xu1x)2 + (u2yu1x)2)
S1 = L1R1
S2 = L2R2
cos θ1 = (u1yTy)/L1
sin θ1 = (u1xTx)/L1
cos θ2 = (u2yu1y)/L2
sin θ2 = (u2xu1x)/L2

Numerikus megoldás

A szimuláció működtetéséhez numerikusan oldjuk meg a mozgásegyenleteket. Ehhez a Runge–Kutta-módszert fogjuk használni. Ez csak közönséges elsőrendű differenciálegyenlet-rendszerekre alkalmazható, ezért a 4 másodrendű mozgásegyenletet 8 elsőrendű egyenletté kell alakítanunk. u1x' = v1x
u1y' = v1y
u2x' = v2x
u2y' = v2y
v1x' = −(k1/m1) S1 sin θ1 − (b1/m1) v1x + (k2/m1) S2 sin θ2
v1y' = −(k1/m1) S1 cos θ1 − (b1/m1) v1y + (k2/m1) S2 cos θ2 + g
v2x' = −(k2/m2) S2 sin θ2 − (b2/m2) v2x
v2y' = −(k2/m2) S2 cos θ2 − (b2/m2) v2y + g
Ne feledjük, hogy az Sn megnyúlások és a θn szögek a tömegek un helykoordinátáinak függvényei, ahogy azt föntebb láttuk.

Látogatószám 2013.02.27. óta:

webcounter.com