Következő lapNext Page Arrow

Fizlab (MyPhysicsLab.hu)

Rugó–tömeg tandem

This page is part of the website prepared by Sándor Nagy with kind permission from Erik Neumann as a translation to Hungarian of his original site MyPhysicsLab—Physics Simulation with Java.

Ez a szimuláció két sorba kapcsolt rugó–tömeg párost mutat (nevezzük ezt rugó–tömeg tandemnek). Az első rugó bal vége egy falhoz (vagyis egy megmozdíthatalan tömeghez) van rögzítve. Aki játszadozott már életében oszcilloszkóppal, annak nyilván ismerősnek tűnik a szimuláción kirajzolódó görbe. A síkgörbe zárt (periodikus) változatát úgy hívják, hogy Lissajous-görbe (ejtsd: liszazsu-görbe; magyar linkek: Wikipédia, Sulinet). Van olyan értelmezés is, mely nem köti ki a görbe zártságát, vagyis a periodicitást. Ebben a laza értelemben a szimuláció csupa Lissajous-görbét mutat. Az ilyen síkgörbék xy koordinátáit egy szinusz és egy koszinusz függvény állítja elő az idő függvényében.
A szimuláció változtatható paraméterei a tömegek, a rugómerevségek és a rugóhosszak. Mindkét tömeg kiindulási helyzetét változtatni lehet az egérrel. Ha egy rugó éppen rövidebb a beállított nyugalmi hosszánál, akkor a színe piros, egyébként pedig zöld. A Statikus állapot gomb nyugalmi állapotba viszi a rugókat (ilyenkor mindkettő zöld, és rezgés sincs). A tandemet az egérrel lehet kizökkenteni a stabil nyugalmi helyzetéből.
Ha nem jön elő a szimuláció, akkor érdemes elolvasni a Java engedélyezéséről szóló instrukciókat. A kapcsolatos fizikát és matekot lásd lentebb.


Javaslat: Kattintson az egyik (tömeget jelképező) négyzet közelébe, és felengedés nélkül húzza odébb az egeret.

Fizika és mozgásegyenletek

A két rugó hatása független, ezért nem nehéz kitalálni az egyes tömbökre ható erőket.  Hivatkozzunk a rugókra és a tömbökre a következő sorrend szerint : fal - rugó1 - tömb1 - rugó2 - tömb2 Tekintsük origónak a rugó és a fal érintkezési pontját.  Definiáljuk a következő változókat (az alsó indexek az 1-es, ill. a 2-es tömbre utalnak): Vezessük be a következő állandókat is: Egy rugó által kifejtett erő a következő arányosság szerint függ a megnyúlásától: F = −k × megnyúlás A tömbökre ható erők tehát a következők F1 = −k1 L1 + k2 L2
F2 = −k2 L2
A rugó megnyúlását a következő módon kapjuk a tömbök helyzetéből: L1 = x1R1
L2 = x2x1w1R2
Az F = m a Newton-féle erőtörvényből, valamint a gyorsulás a = x'' definíciójából két másodrendű differenciálegyenletet kapunk. Ezek a rugó–tömeg tandem mozgásegyenletei.
m1 x1'' = −k1 (x1R1) + k2 (x2x1w1R2)
m2 x2'' = −k2 (x2x1w1R2)

Numerikus megoldás

Alakítsuk át a fenti másodrendű egyenleteket elsőrendű egyenletekké. Ehez csak a v1 és v2 sebességet kell időderiváltként kifejeznünk. Így négy változónk lesz: x1, x2, v1, v2, melyeket két újabb differenciálegyenlet kapcsol össze: x1' = v1
x2' = v2
v1' = −(k1m1) (x1R1) + (k2m1) (x2x1w1R2)
v2' = −(k2m2) (x2x1w1R2)
Ez az alak éppen megfelel arra, hogy a differenciálegyenletek numerikus megoldása céljából a Runge–Kutta-módszert alkalmazhassuk.

Látogatószám 2013.02.27. óta:

visit tracker