Fizlab (MyPhysicsLab.hu)
Ingatandem: kettős inga
This page is part
of the website prepared by Sándor Nagy with
kind permission from Erik Neumann
as a translation to Hungarian of his original site MyPhysicsLab—Physics
Simulation with Java.
Ez a szimuláció az ingatandemről szól (a fizikában kettős ingának hívják az
ilyent), vagyis arról az összetett eszközről, amelyet úgy kapunk, ha egy ingát
egy másikra akasztunk. Nagy kitérések esetén kaotikus rendszer lesz az eredmény,
de kis kitérések esetén a rendszer lineáris.
A szimuláció változtatható paraméterei: a tömegek, a gravitáció és az ingák
hossza. A paraméterállításhoz (mint a többi szimuláció esetében), be kell jelölni
a Vezérlőkkel négyzetet. Az egérrel állítani lehet az ingák kezdeti kitérését
is.
Ha nem jön elő a szimuláció, akkor érdemes elolvasni a
Java engedélyezéséről szóló instrukciókat. A kapcsolatos fizikát és matekot
lásd lentebb.
Javaslat: Kattintsunk az egyik (tömeget jelképező) korong
közelébe, és felengedés nélkül húzzuk odébb az egeret
Kis kitérések esetén a kettős inga
lineáris
rendszer (lásd az
Egyszerű inga mozgása c. szimulációt). Amikor
az ingatandem szögei kicsik, a rendszer egy lineáris
rugótandem
módjára viselkedik. A grafikonon ilyenkor
Lissajous-görbék
rajzolódnak ki. Ez azért van így, mert a mozgást egyszerű szinusz és koszinusz
függvények írják le.
Nagy kitérési szögek esetében a kettős inga nemlineáris rendszer, és a fázisgrafikon
sokkal bonyolultabb képet mutat. Ezt könnyen ellenőrizhetjük, ha a tömegeket
magasabbra emelve engedjük el.
A kettős inga rúdjait merevnek és elhanyagolható (0) tömegűnek tekintjük. A
korongokkal megjelenített tömegeket valójában pontszerűnek vesszük. A mozgásegyenletek
levelezetését alább láthatjuk a newtoni módszerek alkalmazásával.
A kettős inga kienematikája
Egy eszköz kinematikája az egyes részek térbeli
viszonyával foglalkozik, tekintet nélkül a fellépő erőkre. A kinematikában
csupán olyan összefüggéseket keresünk a helyzet, sebesség és gyorsulás meghatározására,
melyek csak az eszköz „pillanatfelvételét” leíró változóktól függnek.
- x = az ingatömeg vízszintes helyzete
- y = az ingatömeg függőleges helyzete
- θ = az inga szöge (0 =
függőlegesen lefelé, a pozitív szög az óra járásával ellentétes)
- L = a rúd hossza (állandó)
Az origót a felső inga forgáspontjába helyezzük.
Az
y változó felfelé növekszik. A felső
ingára az 1-es alsó index utal, míg az alsóra a 2-es. Először is, egyszerű
trigonometria segítségével meghatározzuk, hogyan függenek az
x1,
y1, x2, y2
helyzetparaméterek a
θ1,
θ2 szögektől.
x1
= L1 sin θ1
y1 = −L1 cos θ1
x2 = x1
+ L2 sin θ2
y2 = y1 − L2 cos
θ2 A sebesség a helyzet idő szerinti deriváltja.
x1' = θ1'
L1 cos θ1
y1' = θ1' L1 sin
θ1 x2'
= x1' + θ2' L2
cos θ2 y2'
= y1' + θ2' L2
sin θ2 A gyorsulás második derivált.
|
x1'' = −θ1'2 L1 sin θ1 + θ1'' L1 cos θ1
| (1) |
|
y1'' = θ1'2 L1 cos θ1 + θ1'' L1 sin θ1
| (2) |
|
x2'' = x1'' − θ2'2 L2 sin θ2 + θ2'' L2 cos θ2
| (3) |
|
y2'' = y1'' + θ2'2 L2 cos θ2 + θ2'' L2 sin θ2
| (4) |
A kettős ingára ható erők
Felső tömeg
Alsó tömeg
A két ingatömeget pontszerűnek vesszük. Kezdjük
azzal, hogy vektorábrát készítünk a felső tömegre ható erőkről, hogy felírhassuk
az eredő erő formuláját. A következő változókat definiáljuk:
- T = a rúdban ébredő húzóerő
- m = az inga tömege
- g = a gravitációs konstans
A felső ingatömegre ható erők: a felső rúd
T1
húzóereje, az alsó rúd
T2
húzóereje, valamint a gravitáció:
−m1
g. Külön-külön egyenleteket írunk fel a vízszintes és a függőleges
erőkre, mert egymástól függetlenül kezelhetők. A tömegre ható eredő erő ezek
vektorösszege. Az eredő erőre az
F = m
a Newton-törvényt alkalmazzuk.
|
m1 x1'' = −T1 sin θ1 + T2 sin θ2
| (5) |
|
m1 y1'' = T1 cos θ1 − T2 cos θ2 −
m1 g
| (6) |
Az alsó tömeg esetében az alsó rúd
T2
húzóerejét és a
−m2 g
gravitációt kell figyelembe venni az eredő erő kiszámításakor.
|
m2 y2'' = T2 cos θ2 − m2 g
| (8) |
Ha a kapott egyenleteket össze akarjuk vetni a vektorábrákkal, akkor ne feledjük,
hogy az ábrázolt példán
θ1
pozitív,
θ2 pedig
negatív az említett (órajárással szemléltetett) konvenció miatt.
Mozgásegyenletek meghatározásának direkt módszere
Most egy kis algebrázás következik, melynek célja az, hogy a
θ1'',
θ2'' deriváltakat a
θ1,
θ1', θ2, θ2'
deriváltak segítségével írjuk le. Először is, küszöböljük ki a (7), (8) egyenletből
a
T2 sin θ2
és a
T2 cos θ2
kifejezéseket az (5), (6) egyenlet segítségével.
|
m1 x1'' = −T1 sin θ1 − m2 x2''
| (9) |
|
m1 y1'' = T1 cos θ1 − m2 y2'' − m2 g −
m1 g
| (10) |
Szorozzuk meg a (9) egyenletet
cos θ1-gyel,
a (10)-est pedig
sin θ1-gyel,
majd rendezzük át a kapott eredményt. Ezeket kapjuk:
|
T1 sin θ1 cos θ1 = −cos θ1 (m1 x1'' +
m2 x2'')
| (11) |
|
T1 sin θ1 cos θ1 = sin θ1 (m1 y1'' + m2 y2'' +
m2 g +
m1 g)
| (12) |
A bal oldalak összehasonlításából adódóan:
|
sin θ1 (m1 y1'' + m2 y2'' + m2 g +
m1 g) =
−cos θ1 (m1 x1'' + m2 x2'')
| (13) |
Most pedig szorozzuk meg a (7) egyenletet
cos θ2-vel,
a (8)-ast pedig
sin θ2-vel.
Átrendezés után ezt kapjuk:
|
T2 sin θ2 cos θ2 = −cos θ2 (m2 x2'')
| (14) |
|
T2 sin θ2 cos θ2 = sin θ2 (m2 y2'' + m2 g)
| (15) |
melyből következik
|
sin θ2 (m2 y2'' + m2 g) = −cos θ2 (m2 x2'')
| (16) |
Most egy olyan programra lesz szükségünk, mint a
Mathematica,
mellyel (13) és (16) alapján
θ1'',
θ2'' kifejezhető
θ1,
θ1', θ2, θ2'
függvényeként. Itt figyelembe vesszük az (1-4) definíciót is, tehát van 2 egyenletünk
(13, 16) és 2 ismeretlenünk (
θ1'',
θ2''). Az eredmény kissé bonyolult, de elég könnyen
beprogramozható egy számítógépnek.
θ1'' =
|
−g (2 m1 + m2) sin θ1 − m2 g sin(θ1 − 2 θ2) − 2 sin(θ1 − θ2) m2 (θ2'2 L2 + θ1'2 L1 cos(θ1 − θ2))
|
L1 (2 m1 + m2 − m2 cos(2 θ1 − 2 θ2))
|
θ2'' =
|
2 sin(θ1 − θ2) (θ1'2 L1 (m1 + m2) + g(m1 + m2) cos θ1 + θ2'2 L2 m2 cos(θ1 − θ2))
|
L2 (2 m1 + m2 − m2 cos(2 θ1 − 2 θ2))
|
Ezek a kettős inga mozgásegyenletei.
Numerikus megoldás
A fenti egyenletek közel állnak ahhoz, hogy a
Runge–Kutta-módszert
alkalmazhassuk rájuk. A végső lépés a 2 másodrendű egyenlet átalakítása 4 elsőrendűvé.
Definiáljuk az első deriváltakat önálló változókként:
- ω1 = a felső rúd
szögsebessége
- ω2 = az alsó rúd
szögsebessége
Ezzel a 4 elsőrendű diffegyenlet a következő:
θ1'
= ω1 θ2'
= ω2
ω1' =
|
−g (2 m1 + m2) sin θ1 − m2 g sin(θ1 − 2 θ2) − 2 sin(θ1 − θ2) m2 (ω22 L2 + ω12 L1 cos(θ1 − θ2))
|
L1 (2 m1 + m2 − m2 cos(2 θ1 − 2 θ2))
|
ω2' =
|
2 sin(θ1−θ2) (ω12 L1 (m1 + m2) + g(m1 + m2) cos θ1 + ω22 L2 m2 cos(θ1 − θ2))
|
L2 (2 m1 + m2 − m2 cos(2 θ1 − 2 θ2))
|
Épp erre az alakra van szükségünk ahhoz, hogy a Runge–Kutta-algoritmust
használni tudjuk a numerikus megoldáshoz.