Következő lapNext Page Arrow

Fizlab (MyPhysicsLab.hu)

Ingatandem: kettős inga

This page is part of the website prepared by Sándor Nagy with kind permission from Erik Neumann as a translation to Hungarian of his original site MyPhysicsLab—Physics Simulation with Java.

Ez a szimuláció az ingatandemről szól (a fizikában kettős ingának hívják az ilyent), vagyis arról az összetett eszközről, amelyet úgy kapunk, ha egy ingát egy másikra akasztunk. Nagy kitérések esetén kaotikus rendszer lesz az eredmény, de kis kitérések esetén a rendszer lineáris.
A szimuláció változtatható paraméterei: a tömegek, a gravitáció és az ingák hossza. A paraméterállításhoz (mint a többi szimuláció esetében), be kell jelölni a Vezérlőkkel négyzetet. Az egérrel állítani lehet az ingák kezdeti kitérését is.
Ha nem jön elő a szimuláció, akkor érdemes elolvasni a Java engedélyezéséről szóló instrukciókat. A kapcsolatos fizikát és matekot lásd lentebb.



Javaslat: Kattintsunk az egyik (tömeget jelképező) korong közelébe, és felengedés nélkül húzzuk odébb az egeret

A hivatkozott lapon többek közt az
alábbi kaotikus kettős inga
YouTube-felvétele is látható.
professionally engineered chaotic pendulum
Kis kitérések esetén a kettős inga lineáris rendszer (lásd az Egyszerű inga mozgása c. szimulációt). Amikor az ingatandem szögei kicsik, a rendszer egy lineáris rugótandem módjára viselkedik. A grafikonon ilyenkor Lissajous-görbék rajzolódnak ki. Ez azért van így, mert a mozgást egyszerű szinusz és koszinusz függvények írják le.

Nagy kitérési szögek esetében a kettős inga nemlineáris rendszer, és a fázisgrafikon sokkal bonyolultabb képet mutat. Ezt könnyen ellenőrizhetjük, ha a tömegeket magasabbra emelve engedjük el.

A kettős inga rúdjait merevnek és elhanyagolható (0) tömegűnek tekintjük. A korongokkal megjelenített tömegeket valójában pontszerűnek vesszük. A mozgásegyenletek levelezetését alább láthatjuk a newtoni módszerek alkalmazásával.

A kettős inga kienematikája

double pendulum variables
Egy eszköz kinematikája az egyes részek térbeli viszonyával foglalkozik, tekintet nélkül a fellépő erőkre. A kinematikában csupán olyan összefüggéseket keresünk a helyzet, sebesség és gyorsulás meghatározására, melyek csak az eszköz „pillanatfelvételét” leíró változóktól függnek.
Az origót a felső inga forgáspontjába helyezzük. Az y változó felfelé növekszik. A felső ingára az 1-es alsó index utal, míg az alsóra a 2-es. Először is, egyszerű trigonometria segítségével meghatározzuk, hogyan függenek az x1, y1, x2, y2 helyzetparaméterek a θ1, θ2 szögektől. x1 = L1 sin θ1 y1 = −L1 cos θ1 x2 = x1 + L2 sin θ2 y2 = y1L2 cos θ2 A sebesség a helyzet idő szerinti deriváltja. x1' = θ1' L1 cos θ1 y1' = θ1' L1 sin θ1 x2' = x1' + θ2' L2 cos θ2 y2' = y1' + θ2' L2 sin θ2 A gyorsulás második derivált.
   x1'' = −θ1'2 L1 sin θ1 + θ1'' L1 cos θ1 (1)
   y1'' = θ1'2 L1 cos θ1 + θ1'' L1 sin θ1 (2)
   x2'' = x1'' − θ2'2 L2 sin θ2 + θ2'' L2 cos θ2 (3)
   y2'' = y1'' + θ2'2 L2 cos θ2 + θ2'' L2 sin θ2 (4)

A kettős ingára ható erők

forces in upper mass of double pendulum
Felső tömeg

forces in lower mass of double pendulum
Alsó tömeg
A két ingatömeget pontszerűnek vesszük. Kezdjük azzal, hogy vektorábrát készítünk a felső tömegre ható erőkről, hogy felírhassuk az eredő erő formuláját. A következő változókat definiáljuk: A felső ingatömegre ható erők: a felső rúd T1 húzóereje, az alsó rúd T2 húzóereje, valamint a gravitáció: m1 g. Külön-külön egyenleteket írunk fel a vízszintes és a függőleges erőkre, mert egymástól függetlenül kezelhetők. A tömegre ható eredő erő ezek vektorösszege. Az eredő erőre az F = m a Newton-törvényt alkalmazzuk.
   m1 x1'' = −T1 sin θ1 + T2 sin θ2 (5)
   m1 y1'' = T1 cos θ1T2 cos θ2m1 g (6)
Az alsó tömeg esetében az alsó rúd T2 húzóerejét és a m2 g gravitációt kell figyelembe venni az eredő erő kiszámításakor.
   m2 x2'' = −T2 sin θ2 (7)
   m2 y2'' = T2 cos θ2m2 g (8)
Ha a kapott egyenleteket össze akarjuk vetni a vektorábrákkal, akkor ne feledjük, hogy az ábrázolt példán θ1 pozitív, θ2 pedig negatív az említett (órajárással szemléltetett) konvenció miatt.

Mozgásegyenletek meghatározásának direkt módszere

Most egy kis algebrázás következik, melynek célja az, hogy a θ1'', θ2'' deriváltakat a θ1, θ1', θ2, θ2' deriváltak segítségével írjuk le. Először is, küszöböljük ki a (7), (8) egyenletből a T2 sin θ2 és a T2 cos θ2 kifejezéseket az (5), (6) egyenlet segítségével.
   m1 x1'' = −T1 sin θ1m2 x2'' (9)
   m1 y1'' = T1 cos θ1m2 y2'' − m2 gm1 g (10)
Szorozzuk meg a (9) egyenletet cos θ1-gyel, a (10)-est pedig sin θ1-gyel, majd rendezzük át a kapott eredményt. Ezeket kapjuk:
   T1 sin θ1 cos θ1 = −cos θ1 (m1 x1'' + m2 x2'') (11)
   T1 sin θ1 cos θ1 = sin θ1 (m1 y1'' + m2 y2'' + m2 g + m1 g) (12)
A bal oldalak összehasonlításából adódóan:
   sin θ1 (m1 y1'' + m2 y2'' + m2 g + m1 g) = −cos θ1 (m1 x1'' + m2 x2'') (13)
Most pedig szorozzuk meg a (7) egyenletet cos θ2-vel, a (8)-ast pedig sin θ2-vel. Átrendezés után ezt kapjuk:
   T2 sin θ2 cos θ2 = −cos θ2 (m2 x2'') (14)
   T2 sin θ2 cos θ2 = sin θ2 (m2 y2'' + m2 g) (15)
melyből következik
   sin θ2 (m2 y2'' + m2 g) = −cos θ2 (m2 x2'') (16)
Most egy olyan programra lesz szükségünk, mint a Mathematica, mellyel (13) és (16) alapján θ1'', θ2'' kifejezhető θ1, θ1', θ2, θ2' függvényeként. Itt figyelembe vesszük az (1-4) definíciót is, tehát van 2 egyenletünk (13, 16) és 2 ismeretlenünk (θ1'', θ2''). Az eredmény kissé bonyolult, de elég könnyen beprogramozható egy számítógépnek.
θ1'' =   g (2 m1 + m2) sin θ1m2 g sin(θ1 − 2 θ2) − 2 sin(θ1θ2) m2 (θ2'2 L2 + θ1'2 L1 cos(θ1θ2))
L1 (2 m1 + m2m2 cos(2 θ1 − 2 θ2))
θ2'' =   2 sin(θ1θ2) (θ1'2 L1 (m1 + m2) + g(m1 + m2) cos θ1 + θ2'2 L2 m2 cos(θ1θ2))
L2 (2 m1 + m2m2 cos(2 θ1 − 2 θ2))
Ezek a kettős inga mozgásegyenletei.

Numerikus megoldás

A fenti egyenletek közel állnak ahhoz, hogy a Runge–Kutta-módszert alkalmazhassuk rájuk. A végső lépés a 2 másodrendű egyenlet átalakítása 4 elsőrendűvé. Definiáljuk az első deriváltakat önálló változókként: Ezzel a 4 elsőrendű diffegyenlet a következő: θ1' = ω1 θ2' = ω2
ω1' =   g (2 m1 + m2) sin θ1m2 g sin(θ1 − 2 θ2) − 2 sin(θ1θ2) m2 (ω22 L2 + ω12 L1 cos(θ1θ2))
L1 (2 m1 + m2m2 cos(2 θ1 − 2 θ2))
ω2' =   2 sin(θ1θ2) (ω12 L1 (m1 + m2) + g(m1 + m2) cos θ1 + ω22 L2 m2 cos(θ1θ2))
L2 (2 m1 + m2m2 cos(2 θ1 − 2 θ2))
Épp erre az alakra van szükségünk ahhoz, hogy a Runge–Kutta-algoritmust használni tudjuk a numerikus megoldáshoz.

Látogatószám 2013.02.27. óta:

free hit counters