Konvolúció: Exponenciális lecsengés Gaussos elkenődése

ƒ∗g

f

Egy t = 0-ról induló, csökkenő exponenciális görbe, mely megfelel az 1 közepes élettartamú exponenciális eloszlás 1-re normált sűrűségfüggvényének.

g

Egy origóra centrált Gauss-görbe, mely a μ = 0, σ = 0,15 paraméterű normális eloszlás 0,564-re normált sűrűségfüggvénye.

Az animációról

• A fedőkép a színes görbék eredeti elhelyezkedését mutatja a vízszintes tengelyen. Ha indítás után újra látni akarjuk, akkor ismét le kell tölteni az oldalt.
• A lejátszás sebessége bármikor változtatható menet közben. A bevihető számjegyek számát 3-ra korlátoztam. 20 ms alá nem nagyon érdemes menni, mert a böngésző úgysem tudja követni a diktált sebességet.
• A nyomógombokhoz rendelt képkockák az átlapolás néhány érdekes esetét merevítik ki. Figyeljük meg például, hogy a konvolúció maximuma eltolódik az exponenciáliséhoz képest. (Ez a fedőképen is jól látszik.)
• A Gauss-görbe középtengelyében látszó szaggatott vonal mutatja, hogy melyik t értékhez rendelődik hozzá a zöld tartomány területe mint az f∗g(t) konvolúció értéke.

Gyakorlati példa: pozitronok élettartamspektruma

A pozitron az elektron antirészecskéje. Önmagában stabil ugyan, de földi körülmények között hamar annihilálódik a rengeteg elektron valamelyikével. Emiatt az effektív élettartama mégiscsak igen rövid: a pikoszekundum-nanoszekundum tartományba esik.

Ilyen rövid élettartamokat szinte csoda, hogy meg lehet mérni egyáltalán. Felmerül az emberben a kérdés, hogy vajon mennyire lehet pontos az időmérés az ilyen rövid idők tartományában. Az alábbi ábra egy ún. élettartamspektrumot mutat a szokás szerinti féllogaritmusos ábrázolásban:

Az animáció készítésekor a görbék adatait is ki lehet bányászni a MATLAB-ból. Ezeket lineáris ábrázolásban mutatja az alábbi ábra fedőképe. (Az animáció fedőképével összevetve nyilvánvaló, hogy a görbék vízszintesen nincsenek a helyükön, de így világosabban lehet látni őket.) Húzzuk az egeret a rollover ábrára, hogy ugyanazok a görbék féllogaritmusos ábrázolásban bukkanjanak elő:

A rollover alsó képe meggyőzően mutatja, hogy a fenti ábrán látható kísérleti spektrum egy szép, tiszta, exponenciális elméleti spektrum és az időmérés pontatlanságát, ill. ahogy nevezni szokták: az időfelbontást leíró Gauss-görbe konvolúciójaként értelmezhető. A kísérleti spektrum maximuma nem pontosan a t = 0 időpont helyét jelzi, ti. az a bal oldali szakadék oldalára esik; bal oldala a véges időfelbontás miatt olyan, amilyen; jobb oldala gyakorlatilag ugyanolyan lefutású, mint az elméleti spektrum esetében; háttere (alapvonala) nincs figyelembe véve az animációban.

Végül bemutatok két igazi élettartamspektrumot is, melyet Süvegh Károly pozitronspektroszkópus bocsátott a rendelkezésemre. A rollover fedőképén a spektrumok lineáris ábrázolásban látszanak, az alsón pedig logaritmusosan.

Aki nem járatos a logaritmusos ábrázolásban, az figyelje meg, hogy amikor az egeret a rollover ábrára húzza, kiderül, hogy a 350. csatorna fölötti tartomány, mely a lineáris fedőábrán jelentéktelennek tűnik, valójában tele van fontos informávióval. Mondhatni: ott van a lényeg. A logaritmusos ábrán az is szembetűnik, hogy a kis beütésszámok milyen nagy szórást mutatnak. Valójában, amit a logaritmusos ábrázolás érzékeltet, az nem maga a szór(ód)ás, hanem a relatív szór(ód)ás. Az észlelés hátterében az áll, hogy a Poisson-eloszlás esetében, amely itt a sztochasztikai felügyeletet adja, a szórás a várható érték négyzetgyökével egyenlő (σ = √μ). Ebből következik, hogy a relatív szórásnak relatív szórás = σ / μ = 1 / √μ kisebb beütésszámokra nagyobbnak, nagyobb beütésszámokra pedig kisebbnek kell lennie.

A zöld spektrum pontjait (a szokással ellentétben) összekötöttem, hogy jobban érzékeltessem a beütésszámok random jellegét 1 és 10 között.