Konvolúció Nagy Sándor honlapjára A Tékába, mely ehhez hasonló animációkhoz/szimulációkhoz vezet Nagy Sándor webhelyén

Amikor (kb. 100 éve) megismerkedtem a konvolúció fogalmával, egy csomó dolog a helyére került a fejemben:

Ezen az oldalon, melyet eredetileg csak azért akartam létrehozni, hogy elágazást teremtsek néhány animációs lapom számára, a következőket találja a látogató:

A konvolúció definíciója a Wikipedia Convolution c. szócikke nyomán

Az ƒ és g függvény ƒg konvolúciója alatt a következő integráltranszformációt értjük:

(f * g )(t)\ \ \,   \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{-\infty}^\infty f(\tau)\, g(t - \tau)\, d\tau
= \int_{-\infty}^\infty f(t-\tau)\, g(\tau)\, d\tau.       (kommutativitás)

Noha fentebb a t szimbólum szerepel az argumentumban, a független változónak nem kell okvetlenül az időt jelentenie. Ha viszont a t csakugyan időt jelent, akkor a képlet az ƒ(τ) függvény súlyozott átlagaként értelmezhető abban a t pillanatban, melyben a súlyozást a t-vel eltolt g(−τ) függvény adja. Ahogy a t változik, a g súlyozó függvény más-más részeit emeli ki az f bemenő függvénynek, és így más-más értéket vesz fel az ƒg jelválasz is.

A konvolúció vizuális magyarázata a Wikipedia Convolution c. szócikke nyomán

A recept
  1. Írjuk fel mindkét függvényt a τ segédváltozóval/munkaváltozóval/dummy változóval (dummy variable).
  2. Tükrözzük az egyik függvényt az origóra:
    g
    (τ) ⇒ g( − τ).
  3. Adjunk a tükrözött függvény argumentumához egy t nagyságú eltolást, melynek segítségével a függvényt tologathatjuk a τ-tengely mentén:
    g
    (tτ).
  4. Kezdjük a t eltolást -∞-nél, és haladjunk folyamatosan felfelé egészen +∞-ig. Ha a két függvény egy t eltolásnál átlapolja egymást (magyarán van egy olyan tartomány, ahol egyik sem nulla), akkor számítsuk ki a szorzat alatti területet, azaz a szorzat integrálját. Az így kapott értékek a t eltolás értékétől függnek. Lényegében az f(τ) függvény súlyozott mozgó átlagairól van szó, ahol a súlyfüggvények a g( − τ) eltoltjai.
Illusztráció a recepthez
  • f(t): exponenciális sűrűségfüggvény
  • g(t): exponenciális sűrűségfüggvény csonkítottja az [1, 4] intervallumon

Dirac-deltaA kapott súlyozott átlagértékek éppen az f és g konvolúcióját adják a t eltolás függvényében. Ha speciálisan f(t) a Dirac-delta, akkor a konvolúció éppen a g(t) függvénnyel lesz egyenlő.

Jobbra egy Dirac-delta interpretációját látjuk, mint N(0, a2) normális eloszlású sűrűségfüggvények határértékét
a → +∞ esetén.

Kísérleti spektrum mint konvolúció

Legyen f egy ideális elméleti spektrum általános értelemben. A vízszintes tengely jelentsen valamilyen fizikai mennyiséget (jelölje ezt t vagy τ), a függőleges tengely pedig mérje a Δt vagy dt (ill. Δτ vagy dτ) intervallumban az illető mennyiség előfordulási sűrűségét. Példák:

Amikor egy ilyen elméleti spektrumot ki akarunk mérni, akkor mindig számítani kell arra, hogy a mérőberendezés által szolgáltatott kísérleti spektrum (pl. a spektrofotométerrel kapott emissziós spektrum) nem tükrözi pontosan az elméletit (pl. az emittált fotonok tényleges hullámhosszeloszlását). Koncentráljunk most a mérési hibának arra a részére, amely a t pontos értékének beállításával kapcsolatos. Ha feltételezni lehet, hogy a névleges t-értéktől számított mérési hiba eloszlását a spektrum teljes hosszában (tehát minden t-nél) ugyanaz a g sűrűségfüggvény jellemzi (pl. egy 0-ra centrált Gauss-görbe), akkor a kísérleti spektrumról be lehet látni, hogy az ƒg konvolúcióval egyenlő.

Íme a gondolatmenet:

Mondjuk, hogy beállunk a kísérleti spektrum egy t pontjára, és körülnézünk, hogyan állhatott össze az a kísérleti érték, amelyről be szeretnénk látni, hogy éppen ƒg(t)-vel egyenlő. Azt tudjuk, hogy a pontatlanságot a g görbe jellemzi. Ragadjuk magunkhoz a g görbét a t pontban, és mérlegeljünk. Szemeljünk ki tőlünk balra egy τ < t értéket, és nézzük meg az elméleti spektrum f(τ) értékét azon a helyen. Tegyük fel a kérdést: Vajon "beszűrődhetett" az az érték a kísérleti spektrumba azon a helyen, ahol állunk? Ha nem tudjuk eldönteni, akkor keressünk távolabbi és közelebbi pontot is a vízszintes tengelyen. A közelebbi pontnál pl. a kezünkben tartott Gauss-görbe nagyobb értéket vesz fel, mint τ-ban. Ezt kvalitatíve úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a g görbe nagyobb (hiba)valószínűséget rendel ahhoz, hogy a τ-nál közelebbi értéket "néztük" véletlenül t-nek, mint az, hogy a τ-ban lévőt. Aki a konvolúciót kitalálta, nyilván a következő gondolatmenettel tette volna kvantitatívvá az adott problémát:

A Gauss-görbe értékei (a félremérés esélyei) csak a centrumtól mért távolságtól függnek. Tehát annak az esélye, hogy a τ-t t-nek nézzük, g(t-τ)-vel arányos. Másrészt annál gyakrabban követjük el ezt a tévedést, minél gyakoribb az adott tévedés lehetősége, amit nyilvánvalóan az f(τ)dτ szorzattal lehet mérni. (Ez egy keskeny, álló téglalap területe az adott τ körül.) Vagyis annak az esélye, hogy a kiszemelt τ-t t-nek nézzük, összességében az f(τ)g(t-τ)dτ szorzattal arányos. Viszont nemcsak ezt az egy τ-t nézhetjük t-nek, hanem más-más valószínűséggel az összeset. Ez összegzést, pontosabban τ szerinti integrálást jelent. Vagyis a kísérleti spektrum ordinátája csakugyan ƒg(t)-vel egyenlő ott, ahol éppen állunk.

Konvolúciós animációk

Az egeret a megfelelő képre húzva GIF animáció jön elő. A képre kattintva az animáció vezérelhető változatát mutató oldalra ugorhatunk.

f: csonkított N(0, σ2) sűrűségfüggvény (Gauss-görbe)

g: csonkított, et típusú (növekvő) exponenciális görbe

 

wiki_GausxSpiky

Az animáció forrása:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Convolution_Animation_(Exponential_and_Gaussian).gif

Interaktív változat: JS

f: folytonos egyenletes U(-a, a) sűrűségfüggvény-féle (négyszögimpulzus)

g: t típusú (növekvő) ideális fűrészjel (háromszögimpulzus)

wiki_UxRamp

Az animáció forrása:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Convolution_Animation_(Boxcar_and_Ramp).gif

Interaktív változat: JS

f: szélesebb N(0, σ12) sűrűségfüggvény (Gauss-görbe)

g: keskenyebb N(0, σ22) sűrűségfüggvény-féle (Gauss-görbe)

wiki_NxN Az animáció forrása:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Convolution_Animation_(Gaussian).gif

f: szélesebb folytonos egyenletes
U
(-a1, a1) sűrűségfüggvény (négyszögimpulzus)

g: keskenyebb folytonos egyenletes
U
(-a2, a2) sűrűségfüggvény-féle (négyszögimpulzus)

wiki_UxU Az animáció forrása:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Convolution_Animation_(Boxcar).gif

f: folytonos egyenletes
U
(-1/2, 1/2) sűrűségfüggvény (négyszögimpulzus)

g: folytonos egyenletes
U
(-1/2, 1/2) sűrűségfüggvény (négyszögimpulzus)

wiki_UxU_hu Az animáció forrása:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Convolution_of_box_signal_with_itself2.gif

f: γ(1, 1) exponenciális sűrűségfüggvény (e-t típusú csökkenő exponenciális)

g: folytonos egyenletes
U
(-1/2, 1/2) sűrűségfüggvény (négyszögimpulzus)

wiki_g1xU_hu

Az animáció forrása:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Convolution_of_spiky_function_with_box2.gif

Flash változathoz nukleáris interpretációval: Élettartam (Túl lassan töltődik. Javaslom helyette inkább az alábbi cellában hivatkozott JavaScriptest. Ezt inkább csak magamnak hagyom fent, hogy emlékeztessen a Flash JavaScriptes vezérelhetőségére.)

f: γ(1, 1) exponenciális sűrűségfüggvény (e-t típusú csökkenő exponenciális)

g: 0,564-re normált
N
(0, 0,152) sűrűségfüggvény (Gauss-görbe)

expGauss

Az animációról:
Az animációt Gombási Gáborral E-mail küldése közösen készítettük a fenti animáció mintájára. A négyszögimpulzust azért cseréltük le Gauss-görbére, mert az utóbbi közvetlenül alkalmazható az interaktív változatban tárgyalt fizikai problémára.

A szerzők (Gombási Gábor és Nagy Sándor) elismerik, hogy a balra látható animált GIF a hozzájárulásukkal került fel a Wikipédia Konvolúció c. oldalára.

Interaktív változat nukleáris példával: JS
A példa a pozitronok élettartamspektrumával kapcsolatos

f: γ(1, 1) exponenciális sűrűségfüggvény (e-t típusú csökkenő exponenciális)

g: 0,564-re normált
N
(0, 0,152) sűrűségfüggvény (Gauss-görbe)

expGauss

Az animációról:
Az animációt Gombási Gáborral E-mail küldése közösen készítettük.

Interaktív változat nukleáris példával: JS
A példa a gamma-spektrumok Compton-tartományával kapcsolatos. (Csak kvalitatíve használható analógia.)

f: két keskeny folytonos egyenletes
U
(-b, -a), ill.U(a, b) sűrűségfüggvény-féle (négyszögimpulzusok)

h: N(0, σ2) sűrűségfüggvény-féle (Gauss-görbe)

 

connex_2UxN

Az animáció forrása:
Padley, P. The Convolution Theorem and Diffraction, Connexions Web site. http://cnx.org/content/m13106/1.2/, Nov 28, 2005.

Interaktív változat: JS

Flash változathoz nukleáris interpretációval: Élettartam (Túl lassan töltődik. Azt tervezem, hogy lecserélem egy jobb és gyorsabb változatra.)

f: egy széles folytonos egyenletes
U
(-1/2, 1/2) sűrűségfüggvény-féle (négyszögimpulzus)

h: egy keskeny
N(0, σ2) normális sűrűségfüggvény-féle (Gauss-görbe)

 

connex_UWxN

Az animáció forrása:
Padley, P. The Convolution Theorem and Diffraction, Connexions Web site. http://cnx.org/content/m13106/1.2/, Nov 28, 2005.

Flash változathoz nukleáris interpretációval: Élettartam (Túl lassan töltődik. Azt tervezem, hogy lecserélem egy jobb és gyorsabb változatra.)


Vissza Nagy Sándor honlapjára. Releváns |tIt| kínálat: Asimov Téka

Látogatószám 2013.02.20. óta:

visit counter