Libavadászat Poisson-ludakra (exponenciális & egyenletes eloszlás)

A három geese'n'goose animációt egy olyan Flash forrásfájlból alakítottam ki, melyet Bálint Dezső oktató bocsátott az általa levezényelt Flash tanfolyam résztvevőinek rendelkezésére. A többi forrásomat lentebb adom meg.

Ez az oldal elsősorban arról szól, hogy mi, emberek, hogyan érzékeljük a véletlent. Ha a látogatót esetleg zavarná, ahogy a kérdéseket lentebb elővezetem, próbálja leküzdeni az ellenérzését, és tekintse az egészet egy sajátos szöveges feladatnak, amelyből ki kell hámozni a lényeget. Ha játszadozott egy kicsit az animációkkal, akkor tegye fel magának a következő kérdést. Egymást követő véletlen eseményeket tekintve, melyik eloszlás felel meg jobban a „természetes véletlenszerűség”-ről kialakított elképzelésének: az egyenletes eloszlás vagy a Poisson-folyamat? Válassza azt az animációt, amelyiket a természetesebbnek érzi, és az időmérések alapján meg tudja adni a választ (szerintem).

Az első két video közös vonása, hogy a ludak véletlenszerűen repülnek el a kamera előtt.

További hasonlóság, hogy az egyedek átlagos követési ideje mindkét esetben 2000 ms, azaz két másodperc.

Van azonban egy lényeges különbség is. Az egyik esetben a követési idők egyenletes eloszlásúak (azonos valószínűségűek) 0 ms és 4000 ms között, míg a másik esetben Poisson-folyamat szerinti az elvonulás, vagyis a várakozási idők exponenciális eloszlásúak .

Találja ki, hogy az ELSŐ vagy a MÁSODIK video mutatja-e a Poisson-lúd (Branta poissonii) egyedeit!

Ornitológust próbáló feladat ez, mert a Poisson-lúd megtévesztésig hasonlít közeli rokonára, a simalúdra (Branta uniformis) – ilyeneket látunk a másik Discovery-videón –, és ráadásul egyik sem szerepel az ismert madárhatározókban. Ennek több oka is van. Hogy csak egyet említsek: én találtam ki őket unalmamban.

Aki már most puskázni szeretne, annak ajánlok egy jó könyvet. A helyes választ ugyan ez sem adja meg közvetlenül, de félreérthetetlenül utal rá. (Igazából nem kell az egész könyv: elég a címlap is!)

Ha nem világos, mért van igaza Simone Lucie-Ernestine-Marie-Bertrand de Beauvoirnak – hogy csak a fontosabb keresztneveit említsük –, akkor figyeljünk a következőkre:

1. Melyik látkép maradhat tovább liba nélkül? (Az egyenletes eloszlás nem enged meg több időt két liba között 4 s-nál, az exponenciális eloszlásba viszont – rohamosan csökkenő valószínűséggel ugyan, de – akármilyen hosszú követési idők beleférnek.) Ennek a kérdésnek a tisztázását segíti a két szimuláció mellé helyezett stopper.
2. Melyik esetben gyakoribb a libák torlódása az időben? (Az egyenletes eloszlást nem véletlenül kapta a nevét. Az exponenciális sűrűségfüggvény éppen a 0 értéknél veszi fel a maximumát, onnan egyenletesen és meredeken csökken: vagyis a rövidebb követési idők gyakoribbak.) Az időbeli torlódást pl. érthetjük úgy, hogy egynél több liba van a két függőleges által határolt zónában.

Aki elunta a ludakat, kezdheti lődözni őket az egérrel . (Több puskát már nem tudok ajánlani.)

Ha maradt még türelme valakinek (Jelen!), akkor figyelje meg a következő animációt, amely a ×poissonii poissonii repülését mutatja. Ez a fizkémesek által kitenyésztett fajta a barometrikus formula hátterében álló exponenciális magasságeloszlást követi röptében. Emellett természetesen a fajspecifikus exponenciális eloszlású követési távolságot is betartják.

Legszívesebben a talaj mentén repülnek: ilyenkor a hátuk az alsó vonal alatt marad, ill. a csőrük a látómező alján látható zöld vonalat szántja. Ez a legvalószínűbb magasság. (A repülési magasság a csőr hegyének helyzetére vonatkozik.)

Vannak azonban az indiai lúdra hajazó példányok is (nyilván ez lehetett az egyik felmenő), melyek repülési magassága eléri a 9000 métert. Hogy ezeket a kósza egyedeket is látni engedjem, a szárnyuk csücskét becsempésztem a felső kék vonal fölé. (Valójában némelyik a monitor fölötti magasságban szeli át a szobát.)

A hibridek átlagos repülési magassága éppen a bemutatott zóna közepén van: kb. ott, ahol a piros vonal húzódik. A felezési magasság a fekete vízszintesnél van. Ez annyit jelent, hogy (átlagban) a ludak fele ez alatt tartja a csőrét repülés közben, míg a másik fele a vonal fölött repül.

A példa egyben azt is mutatja, hogy a fekete vonallal jelölt medián (fele-fele szint) nem minden eloszlás esetében egyezik meg a piros vonallal jelölt átlag-gal. Ez kettő az itt érvényesülő exponenciális eloszlás esetében sem azonos. Elvileg 100 lúdból (átlagosan) 63-nak a piros vonal alatt, 37-nek pedig a piros vonal felett illik repülnie. Az aszimmetria tehát nem éri el a 2:1-et, amelyhez kb. 67%, ill. 33% tartozna. Ha eljutung addig, hogy „Tényleg, mintha a vonal felett kevesebb libát látnánk!”, akkor azt mondhatjuk, hogy nagyjából tetten értük az exponenciális eloszlást akció közben. (Ha durva eltérés van, akkor csak azért nem sikerült a tettenérés, mert elszúrtam a Flash-ben az ActionScriptet.)

Amit az alsó zöld vonallal kapcsolatban írtam, úgy is megfogalmazható, hogy az exponenciális eloszlás esetében a módusz (a legvalószínűb/leggyakoribb szint) sem a mediánnal, sem az átlaggal nem egyenlő. (Az átlag a statisztikában a várható érték megfelelője.)

Az olyan szép, szimmetrikus egycsúcsú eloszlások esetében, mint a Gauss-görbével leírható normális eloszlás, ez a három jellemző egybeesik: átlag = medián = módusz.

Az exponenciális eloszlás esetében viszont: átlag > medián > módusz.

Fogadás (jobbról)

• A ludak óvatos madarak: nem szeretik, ha figyelik őket. Ezért csak akkor gyűlnek össze nagyobb számban, ha magukban vannak. Ilyenkor fittyet hánynak a statisztikára. Van rá egy fogadásom, hogy az első szimuláció lúdjai most is épp gyülekezőtt tartanak. Lepjük meg őket! Görgessük csak rájuk az oldalt hirtelen!
• A ludak ravasz állatok: könnyen átlátnak a szitán. Ezért elképzelhető, hogy az imént számítottak a leleplezésre. Viszont az ember okosabb, de ők ezt nem tudják, továbbá hajlamosak az önteltségre. Ezért megduplázom a tétet. Szerintem, ha várunk egy kicsit, és ismét próbálkozunk, rajtakaphatjuk őket!

Vissza Nagy Sándor honlapjára. Releváns |tIt| kínálat: Asimov Téka

Látogatószám 2013.02.21. óta:

web stats