Skaláris szorzat
Skaláris szorzat
The original
applet (© W. Bauer, 1999) can be
found among the pages of LON-CAPA.
Used by permission, courtesy of Wolfgang Bauer.
Használat: A vektorok mindkét végét meg lehet fogni az egérrel, ha a hosszukat vagy az állásukat változtatni szeretnénk.
Az A és a B vektor skaláris szorzata a következő egyenlőség által definiált skaláris mennyiséget jelenti:
A · B = A B = |A| |B| cos γ = A B cos γ
ahol γ a két vektor által bezárt szög, az A és B skalár pedig a vektorok hossza (abszolút értéke).
A definícióból következik, hogy a skaláris szorzás kommutatív művelet, vagyis a tényezők felcserélése nem változtatja meg az eredményt:
A · B = B · A
Vegyük észre, hogy az A cos γ szorzat az A vektor B-vel párhuzamos vetületével egyenlő (jelöljük ezt az A||B előjeles skalárral). Másrészt azt is mondhatjuk, hogy a B cos γ szorzat a B vektor A-val párhuzamos vetületét adja (jelöljük ezt a B||A előjeles skalárral). Emiatt a skaláris szorzat egy téglalap előjeles területét jelenti, amit két módon is kiszámíthatunk:
A · B = (A||B) B = (B||A) A = B · A
Ezt az előjeles területet szemlélteti a fenti applet. Hegyes γ szögre a terület előjele pozitív (sárga téglalap), tompa szögre pedig negatív (rózsaszínű téglalap). Ha a két vektor derékszöget zár be egymással, akkor a szorzat és így a terület is nulla.
A skaláris szorzatot Descartes-féle koordinátákkal is ki lehet fejezni:
A · B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
A skaláris szorzatot az A · A esetre alkalmazva rögtön látjuk, hogy az eredmény A2, hiszen épp a Pitagorasz-tételt kapjuk 3D-re. Ebből már csak gyököt kell vonni, hogy megkapjuk A hosszát.
A lineáris algebrában elterjedt a vektorok “mátrixos” megadása a Descartes-féle koordinátákkal. Azt értem ez alatt, hogy az A vektor koordinátáit Ax, Ay és Az helyett A1, A2 és A3 alakban adják meg a kényelmesebb számítás/általánosíthatóság végett, és a vektorokat alapértelmezésben oszlopvektornak fogják fel, azaz – ha úgy tetszik – egyetlen oszlopból álló mátrixnak tekintik, melynek komponenseihez elég csak sorindexet rendelni. Ezzel az írásmóddal egy sorvektor a “rendes” oszlopvektor transzponáltja, azaz:
A = AT = ( A1 A2 A3).
(Az eltérő szín azt jelenti, hogy – technikai értelemben – bal oldalon nem ugyanazt jelentik a szimbólumok, mint jobb oldalt.) Rögtön látjuk ennek az írásmódnak az egyik előnyét, hiszen ekkor a skaláris szorzat (az alábbi egyenlet bal oldala) egy sorvektor és egy oszlopvektor szorzataként adódik a mátrixszorzás szabályai szerint (az alábbi egyenlet jobb oldala):
A · B = AT B.
Az általánosítás egyik lehetősége a következő kérdéssel kezdődik: Mi volna, ha nem az első vektort transzponálnánk, hanem a másodikat? Nos, az eredmény egy négyzetes mátrix lenne, ami elvezet az ún. diadikus szorzathoz:
A ° B = A BT.
A diadikus szorzat segítségével pl. kényelmesen megadhatók az olyan tenzormennyiségek formulái a fizikában, mint a tehetetlenségi nyomaték vagy a kvadrupólusmomentum.
A skaláris hármasszorzatról a vektoriális szorzatnál 
lesz szó.
Vissza Nagy Sándor honlapjára. Releváns |tIt| kínálat: Asimov Téka
