The original of the animations below have been created by David
M. Harrison. Translated and used by permission, courtesy of Prof.
Harrison.
The picture on the right is a slightly modified portion of a book cover from
Wikipedia.
Fair use rationale: There are exactly 42 reasons (adding up to 6) that support
the non-commercial use of this illustration. (1) It is extremely handy for the
purpose. (3) It also shows a celestial body that is scientifically proven to
rotate every
Saturday night. (9) It is a tribute to DA, one of the most inventive experts
in physix and mathematix, where x = sc, or the other way around. Anyway, we
are talking about jolly impressive speeds whatever s and c should stand/run
for.
JobbkézszabályA jobbkézszabály könnyen megjegyezhetővé teszi a körmozgással társítható vektorok irányát a forgás/keringés irányához képest. A jobb kéz bekunkorodó ujjai a mozgás irányát jelentik, a hüvelykujj pedig a vektor irányát mutatja.
|
Jobbkézszabály barkácsolóknakElnézést kérek a látogatótól, de nehezen tudok betelni Prof. Harrison kreativitásával. Aki már az előbb is értette, hogy működik a jobbkézszabály pl. a szögsebességre, az most megjegyezheti, hogy működik a közönséges (jobbmenetes csavar). Annak a működése sem világos mindenkinek, ami különösen kitekerésnél kínos, miután az emberfia (vagy lánya :-) rájön, hogy még jobban sikerült betekernie, és közben a csavar feje is megsérült a nagy igyekezetben. |
Az illusztráción látható jobbkézszabály neve felidézi a vektoriális szorzat
esetében emlegetett jobbkézszabályt. Ez nem véletlen, hiszen pl. az r
helyvektorú és p impulzusvektorú tömegpont L impulzusmomentum-vektorát
vektoriális szorzat határozza meg az origóhoz képest (l. a Wikipédiát):
L = r × p
Speciálisan, ha az r = |r| keringési rádiusz és a p = |p| impulzus állandó (egyenletes körmozgás), akkor nagyon egyszerű skaláregyenletet kapunk:
L = r p = r m v
ahol m a keringő tömeg, v pedig az állandó kerületi sebesség. A körmozgás kerületi sebességét a rádiusz és a szögsebesség szorzata adja, ezért:
L = r m r ω = r2 m ω = Θ ω
ahol a Θ = r2 m mennyiség a keringő tömegpont tehetetlenségi nyomatéka az origóra mint forgáscentrumra nézve.
Egy kiterjedt test esetében (mely számtalan, egymáshoz képest rögzített tömegpont együtteseként is felfogható), még akkor is végtelen sok forgástengely képzelhető el, ha csak olyan tengelyeket tekintünk, amelyek mind átmennek a tömegközépponton. Ebben az esetben az utolsó egyenlet általánosított alakja a következő:
L = Θ ω
ahol Θ a tehetetlenségi nyomaték tenzora (3×3-as szimmetrikus mátrix). Ha csak egyetlen forgástengelyt tekintünk, akkor a következő skaláregyenletet kapjuk:
L = Θ ω
Figyeljük meg, hogy a Θ tenzor olyan operátorként fogható fel, amely a szögsebességek vektorterét az impulzusmomentumokéra képezi le.
Az alábbi ábra egy S területet körülzáró vezetéket mutat, melyben I erősségű áram folyik. A rajz szerint, melyet a Wikipédia mágnemses momentumról szóló oldaláról vettem le (ill. adaptáltam úgy hogy az elhelyezkedése egyezzen az animációéval), a körvezető mágneses dipólusként viselkedik, melynek μ mágnesesmomentum-vektora a jobbkézszabálynak megfelelően áll:
 |
Ne feledjük, hogy az I áramerősség (nyíllal jelzett) irányát még az elektron felfedezése előtt rögzítették úgy, hogy az a pozitív töltések mozgásirányával egyezzen meg. Ebben a klasszikus közelítésben kihasználjuk a q töltés “atomos” természetét, vagyis azt, hogy létezik egy legkisebb megfigyelhető töltésadag, az e elemi töltés, melyet pozitívnak tekintünk, vagyis tulajdonképpen egy proton vagy egy pozitron töltéséről van szó. Ha egy ilyen kering a fekete nyíllal mutatott irányban, akkor a kapcsolatos pici áramerősség irányát ugyanaz a nyíl mutatja, és a mágneses momentum is a rajz szerint áll. Ehhez képest egy elektron töltése -e, vagyis az elektronnak épp a fordított irányban kell keringenie ahhoz, hogy egy az egyben ugyanezt az ábrát használhassuk illusztrációnak. Ha olyan ábrát használnánk, amelyik a q = ±e töltés mozgásirányát mutatja az áramirány helyett, akkor ezt a ±μ jelöléssel kellene figyelembe venni, azaz pozitív töltés keringésére a jobbkézszabály érvényes, negatívéra pedig a balkézszabály. |
A mágneses momentum μ = |μ| nagyságát az I áramerősség és a vezetővel körülzárt S terület szorzata adja:
μ = I S = (q / T) (r2 π)
ahol T a keringés periódusideje, ami ahhoz kell, hogy a q töltésű részecske éppen körbejárja a 2 r π kerületű kört. Szimpla egyszerűsítéssel és bővítéssel becsempészhetjük a fenti összefüggésbe a v = (2 r π)/T kerületi sebességet, és a sárga háttérrel kiemelt egyenlet segítségével máris felismerhetjük a mágneses momentum és az impulzusmomentum közötti arányosságot:
μ = [q / (2 m)] L
A kvantummechanikában az impulzusmomentumot h egységben adják
meg, ahol h = h/(2π) a redukált Planck-állandó,
csak technikai okok folytán derekára csúszott a nyakkendője. A számértéket a
szokásos módon {L}, az egységet [L] jelöli. Ezt most így vehetjük
figyelembe:
L = {L} [L] = {L}
h
A kvantummechanikában előfordul, hogy az {L} mérőszám (ill. tulajdonképpen az L vektor egy vetületének mérőszáma) éppen 1. Tekintsük ezt az esetet:
μ = q
h/ (2 m)
Ha a keringő részecske helyébe egy elektront képzelünk (q = –e és m = me), akkor:
μe = –e
h/ (2 me) ≡ –μB
Vehetjük úgy, hogy az elektron keringésével kapcsolatos mágneses momentumnak ez a Bohr-magnetonnak nevezett μB mennyiség a “természetes” egysége.
Ha a keringő részecske egy proton (q = +e és m = mp ≈ 1836 me), akkor:
μp = e
h/ (2 mp) ≡ –μN ≈ μB / 1836
Vehetjük úgy, hogy a proton “keringésével” kapcsolatos mágneses momentumnak ez a magmagnetonnak nevezett μN mennyiség a “természetes” egysége.
Gondoljuk meg, hogy
Ezért a magban lévő protonoktól sokkal kisebb mágneses momentum várható, mint az atomi elektronoktól (ti. az impulzusmomentumok ugyanolyan értékeket vehetnek fel). Nem véletlen tehát, hogy a makroszkopikus mágneses tulajdonságok (paramágenesesség, ferromágnesesség) magyarázatánál mindig csak az elektronspinekre hivatkoznak, míg a magspint meg sem említik.
Végül egy képlet, mely azt mutatja, hogy a világ bonyolultabb, mint első pillantásra gondolnánk. Az impulzusmomentum és a mágneses momentum összekapcsolásánál kell még a g-faktor is. Például elektron esetében ezt írhatjuk fel:
μe = g μB {L}
Nem túl meglepő módon egy atomi elektron “pályamozgására” g = –1, de a spinmomentumhoz már g = –2 érték tartozik (pontosabban: –2,00231930437), vagyis a spin ~duplán számít mágneses momentum szempontjából.
Még cifrább a helyzet a nukleonok (proton és neutron) spinnel (S) kapcsolatos mágneses momentumával. Míg a pályamomentumhoz tartozó g-értékek a várakozásnak megfelelőek (+1, ill. 0), addig a spinből eredő mágneses momentumokra ezt mérték:
μp = g μN {S}, ahol g = 5,5856946
μn = g μN {S}, ahol g = –3,826085
Vegyük észre, hogy ha a nukleonok spinjét el lehetne úgy képzelni, mintha egy pici gömb forogna, akkor a semleges neutron esetében a g ≠ 0 eredmény azt jelentené, hogy a gömb belsejében az egyforma nagyságú pozitív és negatív töltés eloszlása nem fedi egymást. Az, hogy g < 0 még többet elárulna: a negatív töltés eloszlása kijjebb húzódik a pozitívétól. Ebben az esetben ugyanis a gömb forgás szempontjából úgy viselkedne, mintha a töltése negatív volna. Például az alábbi ábrán látható töltéseloszlású neutrongömböc (piros és zöld huplik) épp a tapasztalt módon viselkedne:
Aki tud angolul, nézze meg ezt a két rövid és illusztrált cikkecskét 
,
mert ezekből kiderül, hogy a dolog azért ennél bonyolultabb.
Vissza Nagy Sándor honlapjára. Releváns |tIt| kínálat: Nukleáris Glosszárium, Asimov Téka
