A Γ-eloszlás és a Poisson-folyamat ✔

Az alábbi szimuláció © 1997-2013 Kyle Siegrist munkája (Department of Mathematical Sciences University of Alabama in Huntsville). A szimulációs oldal címe: Virtual Laboratories in Probability and Statistics. A magyarítás általános engedély alapján készült 2013-ban.

← Az appletről

Húzza a kurzort arra a részre az appleten, amelyikre kíváncsi. Az instrukciókat l. legalul , ill. az applet ablakát lejjebb görgetve az applet alatt.

A többi statisztikai applet erről az oldalról érhető el.

A Poisson-folyamatról szóló szimulációban beállítunk egy rögzített megfigyelési időt, majd megnézzük, hogy az egyes megfigyelésekben tapasztalt jelszámok milyen gyakoriságot mutatnak, ha a követési idők exponenciális eloszlásúak.

Ebben a szimulációban ugyancsak exponenciális eloszlású várakozási idők telnek el az egymást követő jelek közt, de éppen fordítva járunk el, mint a Poisson-folyamatos szimuláció esetében, azaz rögzített (n) számú jel beérkezéséig mérjük az időt, és a mért időtartamok eloszlására vagyunk kíváncsiak. Meg lehet mutatni, hogy ha időben véletlenszerű követési távolsággal érkeznek jelek egy jelszámlálóba, és ezt a véletlenszerűséget r frekvenciaparaméterű γ(1, r) exponenciális követésiidő-eloszlás jellemzi, akkor az n-edik jel érkezéséig eltelt t időtartamok γ(n, r) gamma-eloszlást fognak mutatni.

Képernyőfelvétel

A kép egy 1000 időmérési ciklusból álló kísérletsorozat eredményét mutatja. A piros hasábos hisztogram (a relatív gyakoriságok ábrája) tűrhetően jó egyezést mutat a γ(4, 2) gamma-eloszlás – ill. az Erlang-eloszlás – sűrűségfüggvényével. (Az Erlang-eloszlás egész n értékkel jellemzett Γ-eloszlást jelent.)

Tippek a felhasználáshoz

A paraméterekkel játszadozva arról is meggyőződhetünk, hogy ha az Erlang-eloszlás n paramétere elég nagy, akkor a sűrűségfüggvénye kísértetiesen hasonlít egy Gauss-görbére. Ez nem véletlen, hiszen a T_n összes várakozási idő n darab egyforma eloszlású független időváltozó összege, ezért a centrális határeloszlás-tétel miatt aszimptotikusan normális eloszlású.

Minthogy a γ(n, r) gamma-eloszlás várható értéke n/r, szórásnégyzete pedig n/r², a közelítő normális eloszlásnak is örökölnie kell ezt a tulajdonságot, vagyis a határeloszlás ilyen: N(n/r, n/r²).

Az Erlang-család tagjai

Különböző egészrendű gamma-eloszlások (Erlang-eloszlások) sűrűségfüggvénye ugyanazzal a r = 1 frekvenciaparaméterrel. Az n = 1 rendhez (alakparaméterhez) az exponenciális eloszlás jellegzetes aszimmetrikus sűrűségfüggvénye tartozik, de a rend növekedésével az aszimmetria csökken, és n = 16-ra már tűrhető az egyezés a megfelelő várható értékű és varianciájú normális eloszlással. A gamma-eloszlás a szkélerimpulzusok közti várakozási idő jellemző eloszlása, ahol n a leosztási szám, r pedig a leosztatlan impulzusok közepes frekvenciája.

A nukleáris számláló (szkéler) kijelzőjének sztochasztikája

Radioaktív preparátum mérése esetén – Poisson-folyamatról lévén szó – a számláló tizedes számjegyei a helyiértéknek megfelelő (1, 10, 100) gamma-eloszlású (Erlang-eloszlású) várakozási idő után ugranak a következő értékre. Keskenyebb eloszlás egyenletesebb váltási ritmust jelent. A sűrűségfüggvényeket úgy normáltam, hogy mindegyik esetben azonos legyen a görbe alatti geometriai terület.

Az alábbi rolloveres animáció egy jelszámláló két utolsó Nixie csövét mutatja. (Húzzuk az egeret a képre, hogy az animáció előjöjjön.) A jobb oldali az egyes helyiértékű, mely olyan ütemben ugrik egyik számjegyről a másikra, ahogy a gyenge sugárforrásból érkező sugárrészecskék (vagy a háttérsugárzás részecskéi) a detektorba jutnak. Az animáció időzítéséhez exponenciális eloszlású véletlenszámokat használtam, hogy a radioaktív bomlás véletlenszerűségét érzékeltessem az időben. A jobb oldali cső közepes váltási idejét 500 ms-ra állítottam be, ami (1 min / 500 ms =) 120 átlagbeütésszámot jelent percenként. A bal oldali Nixie-t a jobb oldali párja lépteti, miközben az 9-ről 0-ra vált. (Ugyanúgy megy ez, ahogy az odométer, ill. a víz- és villanyóra esetében is.)

Készítettem egy interaktív JavaScriptes szimulációt is ugyanezekből a képkockákból. Szerintem érdemes kipróbálni.

Az alábbi rolloveres ábra fedőképe 10-szeres gyorsításban mutatja a bal oldali Nixie lomha mozgását. A mozgás ritmusa valószínűleg egyenletesnek tűnik sokunk számára, holott a képváltás ideje 280 ms és 740 ms között ingadozik, feltéve, hogy a letöltött oldalon érvényesülnek a GIF beállításai. (Egy GIF-teszt szerint a böngészők a 20 ms, ill. 60 ms alatti késleltetéseket felkerekítik 100 ms-ra! Vagyis nem érdemes 60 ms alá menni.) Ha az egeret a képre húzzuk, a „valós” időben látjuk a jobb oldali Nixie pörgését (a váltási idő itt elvileg 1 ms és 7400 ms között mozog). Ez az animációpár közvetlen kapcsolatban van a fentebbi grafikon kék és fekete görbéjével, ti. a fedőanimáció 10-szeres gyorsítása miatt a látszólagos átlagsebességek egyformák, míg a relatív ingadozások észrevehetően eltérőek (csak egy kicsit figyelni kell).

És íme a fedőanimáció (10-szeresre gyorsított 10-es helyiérték) Dekatronnal is:

Dekatronnal egy teljes 400 ms közepes váltási idejű sorozatot is elkészítettem. Húzzuk az egeret a képre, hogy az animáció előjöjjön:

Készítettem egy interaktív JavaScriptes szimulációt is ugyanezekből a képkockákból. Szerintem érdemes kipróbálni. Ez még jobb, mint a Nixie változat!

Ezt a csőtípust ugyanúgy kell leolvasni, ahogy az analóg órát, csak nem 12 szám van, hanem csak 10, az óramutatót pedig a kisülés fénye helyettesíti. Az alábbi rollover fedőanimációja 10-szeres gyorsítással mutatja a 10-es helyiértékű Dekatron mozgását (lásd balra fent), míg az egérrel előcsalogatható animáció az 1-es helyiértékűt mutatja a „valós” időben (lásd jobbra fent).

A fenti animációpár esetében az átlagos váltási idő azonos a lassúbb Dekatron felgyorsítása miatt, de az időingadozásuk eltérő. A használt véletlen számok az 1-es helyiérték esetében 1 ms és 1600 ms közé esnek, a 10-szeresre gyorsított váltási idejei viszont 210 ms és 550 ms között van. A 10-es Dekatron ingadozása tehát relatíve ugyanakkora mint a 10-es Nixie-é, de úgy látszik, hogy az evolúció jobban felkészített minket az elmozdulási sebesség érzékelésére, mint a helyben topogás ütemére, hiszen a számlálási sebesség egyenetlensége a Dekatron esetében rögtön szembe ötlik. Sőt, a periodikusság is is feltűnik, ami abból adódik, hogy csupán 100 véletlen számra futotta a türelmemből, ezért amikor a 10-es számláló a 9-ről a 0-ra ugrik, az előző ciklust indítom újra. Ez kétségtelen hiba, ha a sztochasztika megjelenítésére gondolunk, ugyanakkor érdekes az ember mintázatfelismerése szempontjából, mely abban segíti, hogy az összevisszaságban is megtalálja a rend nyomait. Fontolgatom, hogy Flash-sel (folyamatos véletlenszám-generálással) is elkészítek egy hasonló interaktív szimulációt, de azt hiszem, hogy (éppen a jelzett hibák miatt) megtartom ezt a tökéletlen GIF animációt is. (A Flash valamivel gyorsabb a böngészőkben, mint a GIF.)

Az applet leírása

A gamma-kísérlet abból áll, hogy az alapértelmezett (azaz egyetlen lépésből álló) Poisson-folyamatot az n-edik jel beérkezésig folytatjuk. A beérkezések pirossal vannak bejelölve az idővonalon. Az n-edik beérkezésig eltelt T_n idő sűrűségfüggvényét és momentumait kékkel ábrázolja az eloszlási grafikon. Az adatokat az eloszlási táblázat is mutatja. Az empirikus sűrűségfüggvény és a momentumok minden frissítés után piros színnel látszanak. Az adatok megjelennek az eloszlási táblázatban is. A beérkezési idők szintén frissülnek. Paraméterek: a folyamat r sebessége és az n beérkezési szám, melyeket egy-egy csúszkával állíthatunk.

Vissza Nagy Sándor honlapjára. Releváns |tIt| kínálat: Asimov Téka; a MatStat magyarított (és eredeti) appletkínálata, ahonnan ez az applet is való

Utolsó frissítés dátuma: 2022-01-04