A kocka el van vetve: a centrális határeloszlás-tétel érvényesülése Nagy Sándor honlapjára A Tékába, mely ehhez hasonló animációkhoz/szimulációkhoz vezet Nagy Sándor webhelyén matstat

Az alábbi szimuláció © 1997-2013 Kyle Siegrist munkája (Department of Mathematical Sciences University of Alabama in Huntsville). A szimulációs oldal címe: Virtual Laboratories in Probability and Statistics. A magyarítás általános engedély alapján készült 2013-ban.

← Az appletről

Húzza a kurzort Kurzor arra a részre az appleten, amelyikre kíváncsi. Az instrukciókat l. legalul Ugrás a lapon belül, ill. az applet ablakát lejjebb görgetve az applet alatt.

matstat A többi statisztikai applet erről az oldalról érhető el.matstat

 

A csúszkával be lehet állítani, hogy egyszerre hány kockával dobjunk (1 ≤ n ≤ 28). Az alapértelmezés n = 1, és feltételezzük, hogy a kocka szabályos (de ha akarjuk, „ólmozhatjuk” is). Ennek megfelelően kezdéskor egyetlen kocka körvonala látszik a játékasztalon, és a jobb oldali grafikon a diszkrét egyenletes eloszlásnak megfelelő hathasábos súlyfüggvényt mutatja. Ehhez képest fogjuk majd megítélni, hogy egy dobássorozat után mennyire felelnek meg a piros hasábokkal megjelenített relatív gyakoriságok a várakozásainknak.

Képernyőfelvétel

képernyőfelvétel

 

A kép egy kétkockás kísérletsorozat eredményét mutatja, mely 1000 dobásból állt. A piros hasábos hisztogram (a relatív gyakoriságok ábrája) meglepően jó egyezést mutat azzal a jellegzetes egyenlőszárú háromszögre emlékeztető alakzattal, mely két független, de egyforma diszkrét (vagy folytonos) egyenletes eloszlású valószínűségi változó súlyfüggvényére (ill. sűrűségfüggvényére Ugrás a lapon belül) jellemző.

Tippek a felhasználáshoz

  • A Ugrás saját lapra centrális határeloszlás-tétel Ugrás a lapon belül demonstrációja

Folytonos egyenletes eloszlású valószínűségi változók összege

A fenti ábrán egy 0-1 között folytonos egyenletes eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvényét látjuk (U), melyet egy vízszintes szakasz jelenít meg.
Ha két ilyen változót összeadunk, és ezek függetlenek, akkor a sűrűségfüggvény (U*U) meglepő módon egyenlőszárú háromszöget formáz.
Három ilyen szám összege már olyan (parabolaívekből összerakott) haranggörbét mutat (U*U*U), mely szemre nagyon hasonlít egy olyan normális sűrűségfüggvényhez, melynek várható értékét és szórásnégyzetét úgy választottam, hogy egyezzen a háromtagú összegével: N(3/2, 1/4).

Ez a példa nagyon jól illusztrálja, milyen gyorsan kezd érvényesülni a centrális határeloszlás tétele, mely szerint független egyforma eloszlású valószínűségi változók összege aszimptotikusan normális eloszlású feltéve, hogy a várható érték és a szórás létezik.

Az applet leírása

A kísérlet lényege az, hogy n db egyforma kockát dobunk egyszerre. Az egyformaság azt fejezi ki hétköznapi nyelven, hogy mindegyik kockára ugyanaz a valószínűségi eloszlás vonatkozik. A következő eloszlások közül lehet választani:

  • szabályos: minden kimenetelnek azonos, azaz 1/6 a valószínűsége.
  • 1-6 felől lapított: 1 és 6 dobása egyformán 1/4 valószínűségű; 2, 3, 4 és 5 dobása egyaránt 1/8 valószínűségű.
  • 2-5 felől lapított: 2 és 5 dobása egyformán 1/4 valószínűségű; 1, 3, 4 és 6 dobása egyaránt 1/8 valószínűségű.
  • 3-4 felől lapított: 3 és 4 dobása egyformán 1/4 valószínűségű; 1, 2, 5 és 6 dobása egyaránt 1/8 valószínűségű
  • balra ferdült (nagyobbnak kedvez): az i érték dobásának valószínűsége i/21, ahol i = 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6.
  • jobbra ferdült (kisebbnek kedvez): az i érték dobásának valószínűsége (7-i)/21, ahol i = 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6.

A következő valószínűségi változók aktuális értéke minden frissítés alkalmával feljegyzésre kerül a táblázatban:

  • Az n dobott szám összege: Y. Ez a változó illusztrálja a centrális határeloszlás-tételt.
  • Az n dobott szám átlaga: M. Ez a változó a mintaközép.
  • Az n dobott szám legkisebbike: U. Ez a változó a rendezett minta legkisebb indexű eleme.
  • Az n dobott szám legnagyobbika: V. Ez a változó a rendezett minta legnagyobb indexű eleme.
  • Az 1-esek száma az n dobott szám közül: Z. Ez a változó binomiális eloszlású.

A fenti változók mindegyikét kilistáztathatjuk. A kiválasztott változó súlyfüggvényét és momentumait (várható érték és szórás) kék színben láthatjuk az eloszlásgrafikonon, ill. ezek értéke megjelenik az eloszlási táblázatban is. Miközben a szimuláció fut, az empirikus súlyfüggvény (hisztogram) és az empirikus momentumok (empirikus várható érték és empirikus szórás) piros színnel látszanak az eloszlásgrafikonon, ill. feljegyzésre kerülnek az eloszlási táblázatban is. Az n paraméter értékét a csúszkával lehet beállítani.


Vissza Nagy Sándor honlapjára. Releváns |tIt| kínálat: Asimov Téka; a MatStat magyarított (és eredeti) appletkínálata, ahonnan ez az applet is való

Látogatószám 2013.02.20. óta:

webcounter.com