A Hans Lohninger 
(Learning
by Simulations) által készített szimuláció csak letöltve futtatható.
A magyarított verziót is zip
fájlként tölthetjük le: 
.
(A program csak ANSI kódolást fogad el, UTF-8-at nem, ezért magyarításkor a
hosszú ő és ű helyett rövid ö és ü mellett döntöttem o és u helyett.) Kicsomagolás
után két kattintás az .exe fájlra, és elindul a szimuláció.
Alább mutatok egy rolloveres képpárt a programfelületről. A fedőképen a Cauchy-eloszlás
(empirikus) sűrűségfüggvénye látszik, míg a kurzorral 
előcsalogatható alsó képen ugyanilyen eloszlású véletlen számok sorozatának
n-átlaga szerepel, amely nem konvergál semmiféle állandó értékhez, hanem
rapszodikusan töredezett, jelezve azt, hogy a várható érték nem létezik.
Az alábbiakban használt jelöléseket lásd a hallgatóknak írt összefoglalómban
.
A Cauchy-eloszlásnak ez a hiányosságga maga után vonja azt is, hogy a magasabb
rendű momentumai sem léteznek, beleértve a szórást (standard deviációt). Ez
meglepetést okozhat azoknak, akik nem ismerik eléggé ezt az eloszlást, de tudják,
hogy egy-egy gerjesztett állapot energiája (akár az atomról, akár a magról van
szó) nem teljesen meghatározott érték, hanem a gerjesztett állapot élettartamának
exponenciális eloszlása miatt Cauchy-eloszlású valószínűségi változó. A Cauchy-eloszlás
(normálatlan) sűrűségfüggvényével találkozunk Lorentz-görbe néven a 
Mössbauer-spektroszkópia esetében is valahányszor egy Mössbauer-spektrumot
spektrumcsúcsokra akarunk bontani. Az exponenciális–Cauchy kapcsolat fejeződik
ki az ún. idő–energia
határozatlanságban is. Az utóbbiról – ebben a kontextusban –
írtam egy néhány oldalas ismeretterjesztő cikket ,
ha valakit érdekelne. Mindenesetre a várható érték/szórás nemlétezése egy ilyen
fontos eloszlás esetében hangsúlyozza a várhatóérték-pótló
centrális paraméterek (helyparaméterek) jelentőségét a statisztikában.
A Cauchy-szimuláció fizikailag azért is érdekes, mert az összehasonlítás alapja
(már csak a gyakorlatlan szem számára hasonló, haranggörbeszerű sűrűségfüggvény
miatt is) a
normális eloszlás, amely teljesen “normálisan” viselkedik.
Nos, a mag gerjesztett állapotainak legerjesztődésével kapcsolatos fotocsúcsokat
Gauss-görbével (vagyis “normálatlan” normális sűrűségfüggvényekkel)
illesztik a gamma-spektrumok
kiértékelése során. Meg kell jegyezni azonban, hogy míg az energiaállapotok
Cauchy-féle bizonytalansága (természetes vonalszélessége) pl. egy 57Fe
Mössbauer-mag 14,4 keV-es gerjesztett állapota esetében ~10-8 eV
(elektronvolt), addig
a a 14,4 keV-es fotocsúcs Gauss-görbéje a legmegfelelőbb detektorral felvett
gamma-spektrumban is ~200 eV-os csúcsszélességet tükröz mindenféle sztochasztikus
hatások miatt, amelyek a detektálás mechanizmusával függnek össze, nem pedig
az állapot energiabizonytalanságával. Vagyis a gamma-spektrum csúcsszélessége
az adott esetben mintegy 10 nagyságrenddel nagyobb a természetes vonalszélességnél.
Ebből jól látszik, hogy a kettőnek nincs közvetlen köze egymáshoz.
 |
A C(0, 1) Cauchy-eloszlás normált sűrűségfüggvénye (piros görbe) sehogy sem illeszkedik jól az N(μ, σ2) normális eloszlások normált sűrűségfüggvényéhez (halvány színes görbék). Ha egyező magasságúval (hC) vetjük össze, akkor a normális "derékban" túl széles. Ha pedig egyező szélességűvel (γC), akkor a normális sűrűségfüggvény túl magasnak bizonyul. Ha viszont a testreszabást magasságra és derékbőségre is elvégezzük (γC hC jelű kék görbe), akkor egyrészt egy normálatlan Gauss-görbe lesz az eredmény, másrészt kitűnik a probléma lényege: a Cauchy sokkal jobban szétterpeszkedik az x tengelyen. |
Az m helyzetparaméterű és 2γ félértékszélességű (2γ = FWHM) C(m, γ) Cauchy-eloszlás és a μ várható értékű és σ szórású N(μ, σ2) normális eloszlás hasonlítanak abban, hogy a független Cauchy-változók összege ugyancsak Cauchy-változó lesz, ahogy a független normálisok összege is normális. Van azonban egy lényeges különbség közöttük, ti. a Cauchy-eloszlás esetében az új változó γ szóródási paramétere (nem a szórásról van szó, mert az nem létezik) a tagok szóródási paramétereinek algebrai összege lesz, míg a normális eleoszlás esetében (mint minden olyan eloszlás esetében, amelynek létezik szórása) püthagoraszi összeadás van, vagyis a szórásnégyzetek adódnak össze. A szórást tehát a Pitagorasz-tétel alapján kapjuk meg. A derékszögű háromszögre igaz ugyan, hogy az átfogó a legnagyobb oldal, de azért a két befogó összege mindig nagyobb nála. Ezért a normális változók összege egyre nagyobb szórású lesz ugyan, de a szórás relatív értéke egyre csökken (ez az értelme az átlagolásnak), míg a Cauchy-változók átlagolásával nem megyünk semmire, hiszen az átlagértékek ugyanakkora szóródást mutatnak, mint maguk az átlagolt adatok.
 |
A bal oldali ábra az angol Wikipedia Voigt profile szócikkéből való. (A német Voigt név ejtése: ~fókt.) A Voigt-görbe egy Lorentz-görbe és egy Gauss-görbe |
 |
Az ábrán olyan normális, ill. Cauchy-féle véletlen számokat látunk (200 db), amelyekhez tartozó sűrűségfüggvények haranggörbéi azonos félértékszélességűek. Míg a normális eloszlású adatok mind belül vannak a 0 ± 3σ intervallumon (ahogy várható), a Cauchy-félék közül több is kiszór az ábráról.
|
 |
A fenti ábrán bemutatott nagy "kiszórás" miatt nem létezik várható értéke a Cauchy-eloszlásnak. Vessük össze gondolatban a várható érték kiszámítási formuláját azzal a képlettel, amely egy test forgatónyomatékát adja meg egy ponthoz képest, ha csak a gravitáció hat a testre. Látni fogjuk, hogy a kettő matematikailag azonos, vagyis a nem létező várható érték az adott esetben végtelen nagy forgatónyomatékot jelent. Ezért Toldi Miklós képtelen a földről a levegőbe emelni egy fél Lorentz-görbét (ahogy a Cauchy-féle sűrűségfüggvényt a fizikusok ismerik), pedig a normálhatóság miatt akár 1 mg-os modellt is készíthetünk egy végtelenül hosszú és végtelenül merev pauzpapírból. |
Vissza Nagy Sándor honlapjára. Releváns |tIt| kínálat: Nukleáris Glosszárium, Asimov Téka
