Centrális határeloszlás-tétel Nagy Sándor honlapjára A Tékába, mely ehhez hasonló animációkhoz/szimulációkhoz vezet Nagy Sándor webhelyén

A Hans Lohninger E-mail a szerzőnek (Learning by Simulations) által készített szimuláció csak letöltve futtatható. A magyarított verziót is zip fájlként tölthetjük le: A letöltés kattintásra indul!. (A program csak ANSI kódolást fogad el, UTF-8-at nem, ezért magyarításkor a hosszú ő és ű helyett rövid ö és ü mellett döntöttem o és u helyett.) Kicsomagolás után két kattintás az .exe fájlra, és elindul a szimuláció.

Alább mutatok egy rolloveres képpárt a programfelület két lapjáról. A fedőképen a kezdőlap látszik a normális eloszlás nem 1-re normált sűrűségfüggvényével, míg a kurzorral Húzzuk a kurzort a képre! előcsalogatható alsó képen láthatjuk, hányfajta eloszlással próbálhatjuk ki a centrális határeloszlás-tétel Ugrás a lapon belül érvényesülését, beleértve a szimuláció iskolapéldáját, a folytonos egyenletes eloszlást Ugrás a lapon belül.

A centrális határeloszlás-tétel(ek egyike)

Független egyforma eloszlású valószínűségi változók összege aszimptotikusan normális eloszlású feltéve, hogy a változók μ várható értéke és σ szórása létezik.

Más szóval, ebben az esetben a változók n-összege elég nagy n-re közelítőleg N(2) normális eloszlású lesz, ti. változók összegzésekor a várható értékek mindig összegződnek, továbbá függetlenség esetén összegződnek a varianciák (szórásnégyzetek) is. Az összeget n-nel osztva az átlagot kapjuk. Figyelembe véve, hogy ilyenkor maga a szórás változik n-ed részére, a következő állítás is teljesül: a változók n-átlaga elég nagy n-re közelítőleg N(μσ2/n), ill. N(μ, [σ/n1/2]2) normális eloszlású. Ezt az alakot látjuk érvényesülni a szimulációban is.

Az előző bekezdés jelöléseit (és még sok mindent) a vegyész/kémia alapszakos hallgatóknak szánt összefoglalómban pdf fájl letöltése/megnyitása írtam le. Akinek nincs kedve a .pdf fájlban bogarászni, annak elárulom, hogy a normális eloszlás paramétereinek megadására ezt a konvenciót használom: N(várható érték, szórásnégyzet).

Vegyük észre, hogy a normális eloszlás vonzásköre hatalmas: semmi más megkötés nincs az eloszlásokat illetően, mint ami a tételben szerepel, ezért a Ugrás saját lapra: érmedobás szimulációja fej vagy írás játékkal és a Ugrás saját lapra: Mössbauer-spektrométer Java szimulációja kockadobással épp olyan jó diszkrét eloszlásokat definiálhatunk a centrális határeloszlás-tétel szempontjából, mint a szimulációban szereplő folytonos eloszlások. Másrészt viszont a normális eloszlásra felületesen hasonlító folytonos Ugrás saját lapra: érmedobás szimulációja Cauchy-eloszlás esetében a centrális határeloszlás-tétel nem működik, mert ennek sem várható értéke, sem pedig szórása nem létezik.

Példa: folytonos egyenletes eloszlású valószínűségi változók összege

A fenti ábrán egy 0-1 között folytonos egyenletes eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvényét látjuk (U), melyet egy vízszintes szakasz jelenít meg.
Ha két ilyen változót összeadunk, és ezek függetlenek, akkor a sűrűségfüggvény (U*U) meglepő módon egyenlőszárú háromszöget formáz.
Három ilyen szám összege már olyan (parabolaívekből összerakott) haranggörbét mutat (U*U*U), mely szemre nagyon hasonlít egy olyan normális sűrűségfüggvényhez, melynek várható értékét és szórásnégyzetét úgy választottam, hogy egyezzen a háromtagú összegével: N(3/2, 1/4).

Ez a példa nagyon jól illusztrálja, milyen gyorsan kezd érvényesülni a centrális határeloszlás tétele.


Vissza Nagy Sándor honlapjára. Releváns |tIt| kínálat: Asimov Téka

Látogatószám 2013.02.20. óta:

Free Web Counter